Weblog de Pierre Bernard

Pierre, le 02-05-2010

On trouve toutes sortes d'erreurs dans les copies : orthographe, grammaire, calcul, syntaxe, logique, etc. Je ne leur accorde pas la même importance, loin de là. Par exemple, je suis très indulgent concernant les erreurs de calcul (de toute façon, le barème se charge de les sanctionner). En revanche, plusieurs mois ont passé depuis que j'ai enseigné à mes élèves l'usage des symboles de la logique (tels que $\Rightarrow$ , $\Leftrightarrow$ , etc.) et je constate que les erreurs que je digère le moins bien sont les erreurs de logique/syntaxe. J'ai sous les yeux une de ces erreurs, qui me donne la nausée :

Question : Soit $(x_i)_{i\in I}$ une famille de réels, $I$ étant un ensemble fini non vide. Montrer que $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{card}(I)}\sum_{i\in I} x_i \le \max_{i\in I} x_i$ .

Réponse : On a $\displaystyle \forall i\in I, x_i\le \max_i x_i \Leftrightarrow \sum_{i\in I} x_i \le \sum_{i\in I} \max_{i\in I} x_i$ , etc.

Non seulement je mets zéro à la question, mais ça me coupe l'envie de lire le reste de la copie (et de mettre des points au reste de la copie). Comment peut-on écrire le symbole $\Leftrightarrow$ sans se poser la moindre question, comme si c'était une décoration ?

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Erreur d’élève (encore une)

Pierre, le 25-04-2010

Je ne résiste pas à immortaliser celle-là ici :

$\int_{-a}^{-b} f(x)\mathrm dx = - \int_a^b f(x)\mathrm dx$

Exercice pour l'élève coupable (ou pour toute personne intéressée) : quelles sont les fonctions continues $f:\mathbf R\to \mathbf C$ pour lesquelles la relation ci-dessus est vraie pour tous réels $a,b$ ?

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Erreur d’élève

Pierre, le 25-04-2010

Les erreurs d'élèves sont parfois amusantes (j'en ai déjà parlé ici par exemple). Voici la dernière, je viens de la découvrir dans une copie, ce qui me permet d'écrire cet article et de faire une petite pause :

Pour tout $t>0$ , on a $\arctan t>0$ , en effet $\arctan t=\frac{\arcsin t}{\arccos t}$ .

Il y a même deux erreurs !

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Publicité gouvernementale

Pierre, le 14-04-2010

J'ai été content quand le gouvernement a «supprimé» (il en reste) la publicité sur les chaînes publiques. Je déteste tellement la publicité que je n'ai pas vraiment regardé les raisons de cette suppression. Pour moi toute suppression de publicité est bonne à prendre.
Aujourd'hui, j'entends à la radio que le gouvernement lance une campagne publicitaire (sur le thème des retraites). C'est amusant de voir un gouvernement faire de la publicité après avoir dit qu'il ne doit plus y en avoir sur les chaînes publiques. Je crois que je préfère encore la publicité commerciale (c'est dire) :

La publicité commerciale manipule les cerveaux pour vendre (c'est tout).
La publicité commerciale n'est pas payée par mes impôts (pas directement).

Et je me demande : quels gouvernements ont déjà fait de la publicité (peut-être tous, désolé alors pour la naïveté de la question) ? Je me demande aussi ce qui fait la différence entre publicité et propagande ? (le «degré» sans doute).

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Encore une jolie devinette

Pierre, le 01-04-2010

… dans le genre de celles que j'aime bien : énoncé court, solution courte. Merci au collègue qui me l'a communiquée.

Dans une salle, des chaises, en nombre impair, forment un rectangle (plein).
Sur chaque chaise est assise une personne. Montrer qu'il est impossible que les personnes se déplacent simultanément pour une chaise voisine (une chaise étant voisine d'une autre si elle est devant, derrière, à droite, ou à gauche).

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Fonctions symétriques des racines

Pierre, le 28-03-2010

J'apprends à mes élèves que si $x_1,\ldots,x_n$ sont les racines (avec multiplicités) complexes d'un polynôme $P=X^n+a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n\in \mathbf C[X]$ alors on peut exprimer simplement les fonctions symétriques élémentaires $\sigma_1=x_1+\cdots +x_n$ , $\sigma_2=x_1 x_2+\cdots + x_{n-1} x_n$ , …, $\sigma_n=x_1\cdots x_n$ en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_n$ :

$\forall k\in \{1,\ldots,n\}, \sigma_k=(-1)^k a_k$

Je mentionne qu'en fait toute «expression symétrique en les racines» (sans préciser le sens de ceci) peut s'exprimer à l'aide des fonctions symétriques élémentaires et donc à l'aide des coefficients $a_k$ , ce qu'on constate, exercice amusant, sur des exemples tels que $\frac{1}{x_1^2}+\cdots+\frac{1}{x_n^2}$ (en supposans les $x_k$ non nuls).

Mais l'énoncé général correct est le suivant : soit $A$ un anneau commutatif. Le groupe symétrique $\mathfrak S_n$ opère naturellement sur la $A$ -algèbre $A[X_1,\ldots,X_n]$ , et la sous-algèbre des invariants est notée $A[X_1,\ldots,X_n]^{\mathfrak S_n}$ (c'est l'ensemble des polynômes dits symétriques). En termes moins savants, les polynômes symétriques sont ceux qui ne changent pas lorsque l'on permute les indéterminées. On définit des polynômes symétriques particuliers (appelés les polynômes symétriques élémentaires), $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ , par :

$\displaystyle \prod_{k=1}^n (X+X_i)=X^n+\sum_{k=1}^n \sigma_k X^{n-k}$

Et on a le résultat suivant :

$\displaystyle A[X_1,\ldots,X_n]^{\mathfrak S_n}=A[\sigma_1,\ldots,\sigma_n]$

En français : tout polynôme symétrique peut s'écrire comme un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires. Ou encore, les polynômes symétriques élémentaires engendrent l'algèbre des polynômes symétriques. La preuve habituelle fournit en même temps un algorithme et on peut montrer quelques petites choses supplémentaires très intéressantes, comme par exemple le fait que les polynômes symétriques élémentaires sont algébriquement indépendants, autrement dit qu'il y a unicité de l'écriture d'un polynôme symétrique comme un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires. Voici un exemple tout bête, au cas où vous auriez décroché : $X_1^2+\cdots+X_n^2$ est symétrique et on a la décomposition $X_1^2+\cdots+X_n^2=\sigma_1^2-2\sigma_2$ .

Dans le cas où l'anneau $A$ est un corps $K$ , on définit trivialement la notion de fraction rationnelle symétrique; elles forment un sous-corps $M=K(X_1,\ldots,X_n)^{\mathfrak S_n}$ de $L=K(X_1,\ldots,X_n)$ . On déduit probablement sans trop de problème de ce qui précède que $M=K(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ , mais c'est intéressant de le voir aussi comme une application de la théorie de Galois. Voici comment… On va utiliser trois résultats classiques :

Si $N\subset M\subset L$ sont des corps, alors $[L:N]=[L:M][M:N]$ (où $[A:B]$ désigne le degré de l'extension $B\subset A$ , c'est-à-dire la dimension du de $B$ comme espace vectoriel sur $A$ ).
Si $G$ est un groupe fini d'automorphismes d'un corps $K$ alors l'extension $K^G\subset K$ est de degré égal à l'ordre de $G$ .
Si $K\subset L$ est une extension de décomposition d'un polynôme $P\in K[X]$ de degré $n$ , alors $[L:K]\le n!$ .

Notons $N=K(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ . Alors $N\subset M\subset L$ . D'après (1), on a $[L:N]=[L:M][M:N]$ . Mais d'après (2), $[L:M]=n!$ et d'après (3), $[L:N]\le n!$ . D'où $[M:N]\le 1$ et donc $M=N$ , c.q.f.d.

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Langue française

Pierre, le 22-03-2010

Vous dites, et pas vous disez, mais vous contredisez, et pas vous contredites

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Définitions du PGCD

Pierre, le 18-03-2010

Suite à mon précédent article où je raconte des bétises (merci à JLT de m'avoir ouvert les yeux sur un point), voici un résumé de ce que je comprends.

Soit $A$ un anneau intègre et $K$ son corps des fractions. Soient $a,b$ deux éléments de $A$ .

On dira que $d\in A$ est un PGCD de $a,b$ si :
$\forall k\in K, k|d \Longleftrightarrow (k|a\text{ et }k|b)$
On définit de façon analogue la notion de PPCM.
On dira que $d\in A$ est un presque-PGCD de $a,b$ si :
$\forall k\in A, k|d \Longleftrightarrow (k|a\text{ et }k|b)$
On définit de façon analogue la notion de presque-PPCM.

Dans des anneaux sympathiques tels que $\mathbf Z$ ou $k[X]$ , les notions de PGCD (resp. PPCM) et de presque-PGCD (resp. presque-PPCM) coïncident. C'est sans doute pour cela qu'on trouve plus souvent dans les livres⁽¹⁾, il me semble, la définition de ce que j'ai appelé presque-PGCD (resp. presque-PPCM) comme définition du PGCD (resp. PPCM).

On a les faits suivants, en espérant cette fois dire des choses vraies :

Si $a,b$ ont un PGCD (resp. un PPCM) alors celui-ci est unique à un facteur inversible près.
Si $a,b$ ont un presque-PGCD (resp. un presque-PPCM) alors celui-ci est unique à un facteur inversible près.
Si $a,b$ ont un PGCD (resp. un PPCM), alors celui-ci est également un presque-PGCD (resp. un presque-PPCM).
La réciproque du point précédent est fausse en général. Par exemple, dans l'anneau intègre
$A=k[X^2,X^3]$ (où $k$ est un corps commutatif), $1$ est un presque-PGCD de $X^2$ et $X^3$ mais n'est pas un PGCD de $X^2$ et $X^3$ car $X^{-1}$ divise $X^2$ et $X^3$ sans diviser $1$ .

Concernant le produit du PGCD par le PPCM, on a :

Si $a,b$ ont un PGCD $d$ et un PPCM $m$ , alors $md$
et $ab$ sont égaux à un facteur inversible près.
Si $a,b$ ont un presque-PGCD $d$ et un
presque-PPCM $m$ , alors $md$
et $ab$ sont égaux à un facteur inversible près.

La preuve du premier point est rapide, je l'ai donnée dans mon précédent article. Le second point généralise le premier et peut se démontrer ainsi : $a$ et $b$ , donc $m$ , divisent $\frac{ab}{d}$ . Donc $md$ divise $ab$ . $\frac{ab}{m}$ divise $a$ et $b$ donc $d$ , donc $ab$ divise $md$ , voilà.

Dernière chose : il me paraît assez clair que si $A$ est factoriel, alors tout presque-PGCD (resp. presque-PPCM) est un PGCD (resp. PPCM). Par contre, il me semble que le fait que l'anneau $A$ soit intégralement clos ne suffit pour que les notions de presque-PGCD et de PGCD coïncident. En effet, il existe des anneaux intégralement clos contenant quatre éléments irréductibles⁽²⁾ deux à deux non associcés $a,b,c,d$ tels que $ab=cd$ . Alors 1 est un presque-PGCD de $a$ et $c$ , mais 1 n'est pas un PGCD de $a$ et $c$ (puisque $\frac{c}{b}$ divise $a$ et $c$ sans diviser 1).

(1) Cependant, dans Bourbaki, le PGCD est défini comme ici.
(2) Un élément d'un anneau intègre est irréductible (dans cet anneau) s'il n'est ni nul ni inversible
et s'il ne peut s'écrire comme un produit de deux non inversibles. Dans un anneau factoriel (par exemple dans $\mathbf Z$ ), les éléments irréductibles sont les éléments premiers. Mais en général, il existe des éléments irréductibles non premiers (par exemple, sauf erreur, 2 est irréductible dans $\mathbf Z[i\sqrt{5}]$ mais pas premier)

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Corps des fractions

Pierre, le 09-03-2010

En mathématiques, construire des ensembles plus gros (et plus «abstraits») que ceux qu'on étudie permet parfois de résoudre certains problèmes, ou en tout cas de mieux les comprendre, ou en tout cas de les formuler de façon plus sympathique. En disant ensemble plus gros, je pense aux complétés, aux clôtures algébriques, aux corps des fractions, etc.
Je suis tombé récemment sur un exemple particulièrement élémentaire qui illustre l'intérêt du corps des fractions. Je l'écris dans le cas particulier de $\mathbf Z$ et de son corps des fractions $\mathbf Q$ mais tout s'adapterait sur un anneau intègre quelconque. Il s'agit de démontrer que :

Pour tous entiers non nuls $a,b$ , $\mathrm{pgcd}(a,b)\mathrm{ppcm}(a,b)=\pm ab$ .

On commence par étendre la relation de divisibilité (définie classiquement sur $\mathbf Z$ ) à $\mathbf Q$ en posant, pour tous rationnels $x,y$ , $x|y$ s'il existe $k\in\mathbf Z$ tel que $y=kx$ . On étend de même les notions de PGCD et de PPCM (on appelle PGCD de deux rationnel
$x,y$ tout rationnel qui divise $x$ et $y$ et qui est divisible par tout rationnel qui divise $x$ et $y$ , définition analogue pour les PPCM). Il y a a priori une différence entre le pgcd de deux entiers, vus comme des rationnels, et le pgcd de ces deux entiers vus comme des entiers (voir les commentaires). Pour que ce qui suit soit correct, on suppose que tous les entiers sont vus comme des rationnels. Du coup, l'intérêt de tout ça est limité !. On a immédiatement les résultats suivants :

$x\in\mathbf Q^*$ divise $y\in\mathbf Q^*$ si et seulement si $\frac{1}{y}$ divise $\frac{1}{x}$ .
$d\in\mathbf Q^*$ est un PGCD (resp. PPCM) de $x,y\in\mathbf Q^*$ si et seulement si $\frac{1}{d}$ est un PPCM (resp. PGCD) de $\frac{1}{x},\frac{1}{y}$ .
Soit $t\in\mathbf Q^*$ . Alors : $d\in\mathbf Q^*$ est un PGCD (resp. PPCM) de $x,y\in\mathbf Q^*$ si et seulement si $td$ est un PGCD (resp. PPCM) de $tx,ty$ .

Maintenant, soient $a,b$ deux entiers non nuls et soit $d$ un PGCD de $a$ et $b$ . Alors, d'après le deuxième point, $\frac{1}{d}$ est un PPCM de $\frac{1}{a},\frac{1}{b}$ . Donc, d'après le troisième point, $\frac{ab}{d}$ est un PPCM de $\frac{ab}{a},\frac{ab}{b}$ , cqfd.

Cela me semble plus limpide que la plupart des preuves que j'ai lues (et que celle que j'ai infligée à mes élèves) mais il faut étendre la relation de divisibilité à $\mathbf Q$ .

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Fonctions concaves

Pierre, le 07-03-2010

Je me pose la petite question suivante : dans un ensemble ordonné $(E,\le)$ , une partie $A$ est dite cofinale si $\forall x\in E,\exists y\in A, x\le y$ . On considère l'ensemble $E$ des fonctions continues $f:[0,1]\to \mathbf R$ telles que $f(0)=f(1)=0$ , ordonné par la relation d'ordre «naturelle». L'ensemble des fonctions concaves appartenant à $E$ est-il cofinal ?

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