Chaînette

Pierre, le 26-01-2009

Un fil suspendu par ses extrémités forme une courbe qui ressemble à une parabole, mais qui n'est pas une parabole : c'est une chaînette, dont l'équation est y=\mathrm{ch}(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} («ch» comme cosinus hyperbolique) à quelques éventuelles constantes près.

Et voici la preuve. Cela commence évidemment par de la physique/mécanique et j'aurai du mal à donner des explications détaillées de quelque chose que je peine à comprendre. Par contre, une fois la mise en équations faite, la résolution mathématique est plutôt facile et je donne tous les détails !

On part du dessin(1) suivant :

chainette

La fonction f représente le fil. On a placé le point le plus bas du fil à l'origine. On isole par la pensée le morceau de fil (en rouge), situé entre les abscisses {0} et x>0. Puis on fait l'inventaire des forces (en bleu) qui s'exercent dessus. Avertissement : certaines constantes sont choisies arbitrairement et je ne parlerai pas d'unité; le but est simplement de montrer que f est le cosinus hyperbolique à des constantes près.

On a donc l'équation :

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad f^{\prime}(x)=\ell(x) \end{displaystyle}

Autrement dit, la dérivée de f au point x est égale à la longueur du graphe de f entre les abscisses {0} et x. Si l'on suppose(2) la fonction f de classe \mathcal C^1, alors la longueur {\ell}(x) est donnée par :

\begin{displaystyle}\ell(x)=\int_0^x \sqrt{1+f^{\prime}(t)^2}\,\mathrm dt\end{displaystyle}

Donc :

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad f^{\prime}(x)=\int_0^x \sqrt{1+f^{\prime}(t)^2}\,\mathrm dt\end{displaystyle}

Posons g(x)=f^{\prime}(x) :

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad g(x)=\int_0^x \sqrt{1+g(t)^2} \, \mathrm{d}t \end{displaystyle}

Dérivons (mais souvenons-nous que g(0)=0) :

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad g^{\prime}(x)=\sqrt{1+g(x)^2}\end{displaystyle}

On doit pouvoir affirmer, à partir de là, On peut en déduire facilement (voir les commentaires) que g est le sinus hyperbolique et donc que f est le cosinus hyperbolique à une constante additive près, mais on peut continuer de façon élémentaire autrement :

Dérivons encore :

\begin{displaystyle}\forall x\ge {0},\quad g^{{\prime}{\prime}}(x)=\frac{2g^{\prime}(x)g(x)}{2\sqrt{1+g(x)^2}}=\frac{g^{\prime}(x)g(x)}{g^{\prime}(x)}=g(x)\end{displaystyle}

Un élève de terminale qui a des connaissances sur les équations différentielles linéaire d'ordre deux pourrait conclure ici, mais continuons en posant G=\begin{pmatrix}g \\ g^{\prime}\end{pmatrix} :

\begin{displaystyle} G^{\prime}=\begin{pmatrix}g^{\prime} \\ g^{\prime \prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g^{\prime} \\ g\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}g \\ g^{\prime }\end{pmatrix}=AG\end{displaystyle}

Posons H(x)=e^{-xA}G(x) :

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad H^{\prime}(x)=-e^{-xA}AG(x)+e^{-xA}G^{\prime}(x)\end{displaystyle}
\begin{displaystyle} =-e^{-xA}G'(x)+e^{-xA}G^{\prime}(x)=0 \end{displaystyle}

Donc H est constante sur l'intervalle [0,+\infty[ :

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad H(x)=H(0)=\begin{pmatrix}g(0) \\ g^{\prime }(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f^{\prime}(0) \\ \sqrt{1+f^{\prime}(0)^2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{displaystyle}

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad G(x)=e^{xA}H(x)\end{displaystyle}

Calculons \exp(xA). On remarque que A^2=I donc A^{2n}=I et A^{2n+1}=A pour tout entier naturel n, puis on écrit :

\begin{displaystyle} \exp(xA)=\sum_{n\ge 0} \frac{(xA)^n}{n!}=\sum_{n\ge 0} \frac{(xA)^{2n+1}}{(2n+1)!}+\sum_{n\ge 0} \frac{(xA)^{2n}}{(2n)!}\end{displaystyle}

\begin{displaystyle}=\left(\sum_{n\ge 0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)A+\left(\sum_{n\ge 0} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)I=\mathrm{sh}(x)A+\mathrm{ch}(x)I\end{displaystyle}

Donc :

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad G(x)=\begin{pmatrix}\mathrm{ch}(x) & \mathrm{sh}(x) \\ \mathrm{sh}(x) & \mathrm{ch}(x) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mathrm{sh}(x)\\ \mathrm{ch}(x) \end{pmatrix}\end{displaystyle}

D'où \forall x\ge 0,\quad g(x)=\mathrm{sh}(x), et donc f est le cosinus hyperbolique à une constante additive près, c.q.f.d.

Pour terminer, je trouve amusant de chercher comment il faut rendre le fil inhomogène pour qu'il prenne une forme donnée. La répartition de la masse du fil sera représentée par une fonction m, de sorte que l'équation différentielle devient :

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad f^{\prime}(x)=\int_0^x m(t)\sqrt{1+f^{\prime}(t)^2}\,\mathrm dt\end{displaystyle}

D'où :

\begin{displaystyle}\forall x\ge 0,\quad m(x)=\frac{f^{\prime\prime}(x)}{\sqrt{1+f^{\prime}(x)^2}}\end{displaystyle}

Par exemple, si la masse du fil est répartie selon \forall x\ge 0,\; m(x)=\dfrac{2}{\sqrt{1+4{x}^{2}}} (fil moins lourd aux extrémités) alors le fil est parabolique. Une parabole est réputée plus «pointue» qu'une chaînette, tout va bien :-)

(1) Le code LATEX du dessin est par ici. Sa compilation, par latex ou pdflatex, nécessite le package PGF/TikZ, le programme Gnuplot et l'option -shell-escape. Après avoir obtenu un fichier PostScript, on peut obtenir un image (fichier png) avec la commande gs.
(2) On peut le supposer, ce n'est pas des math, c'est de la physique ;-)

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 6 commentaire(s) ]

6 commentaires pour “Chaînette”

  1. Pierre Lecomte dit :
    27 janvier 2009 à 10:18

    Je ne comprends pas bien le caractère ”élémentaire” de l’exponentielle de matrice (que j’apprécie pour bien des raisons, par ailleurs). Il me semble qu’en restant très élémentaire, tout était dit dès l’obtention de la première équation en g car, enfin, elle se ramène à une simple primitivation!

  2. Pierre dit :
    27 janvier 2009 à 11:49
    Oui, en effet ! \mathrm{Argsh}^{\prime}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} et on a dès le début \dfrac{g^{\prime}(x)}{\sqrt{1+g(x)^2}}=1, donc g(x)=\ldots et c’est terminé.

    J’avais vu que g=\mathrm{sh} était une solution dès le début, mais pour montrer l’unicité je ne voyais que le théorème de Cauchy-Lipschitz, et c’est pour cela que j’ai continué avec une exponentielle de matrice en disant que c’était élémentaire :oops:

    Merci pour la relecture, j’ai corrigé l’article :-)

  3. MathOMan dit :
    1 novembre 2009 à 15:13

    Salut !
    Je viens de réfléchir… Comme tu le dis, trouver la fonction est facile une fois que l’équation est établie, mais d’abord il faudrait “prouver” cette équation.

    “cette indépendance de x ne me semblait pas évidente, mais je fais confiances aux physiciens…”

    La solution “classique” de la chaînettee passe par le calcul des variations (on minimise l’énergie potentielle, voir par exemple http://de.wikipedia.org/wiki/Katenoide). A mon avis il est impossible d’écarter le calcul des variations complètement — l’indépendance de x vient justement d’un raisonnement style calcul des variations.

    Je vais clarifier par un “Gedankenexperiment” :

    1) Supposons que ce sont deux personnes A et B qui tiennent la corde aux extrémités de même hauteur. Notons S le point minimal.

    2) Une personne C touche la corde entre S et B. Ni A ni B sentent une différence. Maintenant on coupe la corde juste au-dessus de C. Alors C a pris le rôle de teneur d’extrémité (mais plus bas que B) tandis que A ne sent toujours pas de différence. En effet, si A n’exercait plus le même vecteur de force sur la corde qu’auparavant alors on aurait une contradiction avec la forme de la corde prise avant l’intervention de C.

    3) En particulier chaque personne qui tient une extrémité est seulement “responsable” de sa partie jusqu’à S. D’où “l’indépendance de x” que tu mentionnes (la personne C se place en S).

  4. Pierre dit :
    2 novembre 2009 à 17:22
    Merci pour cette explication permettant de «sentir» le truc.
  5. pascal fraizy dit :
    29 décembre 2009 à 18:42

    Etant donné une personne de poids p et un hamac de longueur L, en négligeant l’élasticicité du hamac, pourrait-on calculer à partir de ce qui est dit plus haut, la distance “idéale” entre les deux points d’ancrage pour former une chainette?

    Un amateur de confort en amazonie

  6. Pierre dit :
    29 décembre 2009 à 18:48
    Une personne est un objet un peu compliqué. J’ai peur qu’il faille poser votre question sur un blog plus physicien :)

Laisser un commentaire