En faisant des exercices sur les séries numériques, j'ai trouvé une preuve de la divergence de la série harmonique qui consiste en le dessin ci-dessous. Je suppose que ce truc est bien connu (?).
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Effectivement, si on part du principe que les deux dessins sont les mêmes sauf le découpage, je comprends, mais il faut tout de même voir que \(\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\times n = \frac{1}{n+1}\) pour admettre la correspondance des aires.
Merci :-)
PS : Je ne connaissais pas cette jolie preuve de la divergence de la série harmonique que PB nous propose là. C'est encore un bel exemple du fait que les maths sont la science du changement de point de vue (voir aussi le billet www.mathoman.com/index.php/1583-maths-et-musique-des-concepts-en-commun).
> Personnellement je ne trouve pas le dessin si explicite > qui ne saute pas aux yeux sur le dessin. @Kamel et Philippe : je ne comprends pas votre problème. Le dessin à gauche et à droite représentent la même chose, l'un est découpée par tranches verticales et l'autre par tranches horizontales. A gauche la k-ième tranche est de largeur égale à 1 et de hauteur 1/k ; son aire est donc 1/k. A droite la k-ième tranche (comptée par le haut) est de largeur égale à k et de hauteur 1/k -1/(k+1) ; ainsi on calcule que son aire est 1/(k+1). Si l'aire totale était finie on aurait donc la contradiction que la somme des 1/k avec k>0 serait égale à la somme des 1/(k+1) avec k>0.
Je ne connaissais pas non plus cette preuve. Je la trouve sympa. Ceci dit pour me laisser convaincre par le dessin, il m'a tout de même fallu passer par la convergence de la série téléscopique de terme général \(\frac{1}{n(n+1)}\) que tu évoques juste au dessus. Je voulais vérifier qu'il n'y avait pas d'arnaque, que la partie coloriée est bien la même dans les deux cas, ce qui ne saute pas aux yeux sur le dessin.
Je crois que les suites intéressantes pour les resommations sont des suites qui ont une infinité de termes négatifs et une infinité de termes positifs. Concernant le dessin, les valeurs indiquées ne sont pas complètement immédiates, c'est sans doute pour cela que tu le trouves peu explicite. Ce qui est derrière le dessin, c'est la famille double : \(\left(\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)\mathbf{1}_{\{1,\ldots,i\}}(j)\right)_{1\le i,j\le +\infty}\), qu'on peut sommer par tranche verticales ou horizontales. Dans le cadre des familles sommables, le fait qu'on puisse faire cela est une propriété immédiate, dans le cadre des séries c'est un théorème (qu'on peut appeler théorème de Tonelli pour les séries). Ici les calculs sont immédiats.
ça montre non seulement qu'elle diverge mais aussi qu'on ne peut pas lui attribuer de "valeur" par une procédure de resommation (cf http://rouxph.blogspot.fr/2012/05/resommation-des-series-divergentes-et.html). En fait le dessin tente de justifier géométriquement que si la série est "sommable" de valeur S alors on aurait S=S-1 d'où la contradiction 0=-1. Personnellement je ne trouve pas le dessin si explicite :-)
Oufti! ;-) C'est joli!
Le dessin montre deux partitions différentes d'une même partie P du plan. La première partition de P (à gauche) montre que l'aire de P est égale à 1+1/2+1/3+1/4+…, la seconde partition (à droite) montre que l'aire de P est égale à 1/2+1/3+1/4+…. D'où : 1+1/2+1/3+1/4+…=1/2+1/3+1/4+…
Je ne sais pas si c'est connu. Ce ne l'est pas de moi qui ne comprends pas ... Désolé!