Weblog de Pierre Bernard

Pierre, le 09-03-2010

En mathématiques, construire des ensembles plus gros (et plus «abstraits») que ceux qu'on étudie permet parfois de résoudre certains problèmes, ou en tout cas de mieux les comprendre, ou en tout cas de les formuler de façon plus sympathique. En disant ensemble plus gros, je pense aux complétés, aux clôtures algébriques, aux corps des fractions, etc.
Je suis tombé récemment sur un exemple particulièrement élémentaire qui illustre l'intérêt du corps des fractions. Je l'écris dans le cas particulier de $\mathbf Z$ et de son corps des fractions $\mathbf Q$ mais tout s'adapterait sur un anneau intègre quelconque. Il s'agit de démontrer que :

Pour tous entiers non nuls $a,b$ , $\mathrm{pgcd}(a,b)\mathrm{ppcm}(a,b)=\pm ab$ .

On commence par étendre la relation de divisibilité (définie classiquement sur $\mathbf Z$ ) à $\mathbf Q$ en posant, pour tous rationnels $x,y$ , $x|y$ s'il existe $k\in\mathbf Z$ tel que $y=kx$ . On étend de même les notions de PGCD et de PPCM (on appelle PGCD de deux rationnel
$x,y$ tout rationnel qui divise $x$ et $y$ et qui est divisible par tout rationnel qui divise $x$ et $y$ , définition analogue pour les PPCM). Il y a a priori une différence entre le pgcd de deux entiers, vus comme des rationnels, et le pgcd de ces deux entiers vus comme des entiers (voir les commentaires). Pour que ce qui suit soit correct, on suppose que tous les entiers sont vus comme des rationnels. Du coup, l'intérêt de tout ça est limité !. On a immédiatement les résultats suivants :

$x\in\mathbf Q^*$ divise $y\in\mathbf Q^*$ si et seulement si $\frac{1}{y}$ divise $\frac{1}{x}$ .
$d\in\mathbf Q^*$ est un PGCD (resp. PPCM) de $x,y\in\mathbf Q^*$ si et seulement si $\frac{1}{d}$ est un PPCM (resp. PGCD) de $\frac{1}{x},\frac{1}{y}$ .
Soit $t\in\mathbf Q^*$ . Alors : $d\in\mathbf Q^*$ est un PGCD (resp. PPCM) de $x,y\in\mathbf Q^*$ si et seulement si $td$ est un PGCD (resp. PPCM) de $tx,ty$ .

Maintenant, soient $a,b$ deux entiers non nuls et soit $d$ un PGCD de $a$ et $b$ . Alors, d'après le deuxième point, $\frac{1}{d}$ est un PPCM de $\frac{1}{a},\frac{1}{b}$ . Donc, d'après le troisième point, $\frac{ab}{d}$ est un PPCM de $\frac{ab}{a},\frac{ab}{b}$ , cqfd.

Cela me semble plus limpide que la plupart des preuves que j'ai lues (et que celle que j'ai infligée à mes élèves) mais il faut étendre la relation de divisibilité à $\mathbf Q$ .

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 7 commentaire(s) ]

7 commentaires pour “Corps des fractions”

MathOMan dit :
9 mars 2010 à 21:58
> Cela me semble plus limpide que la plupart des preuves que j’ai lues

Je ne comprends pas. L’égalité pgcd(a,b) ppcm(a,b) = ab est triviale si on utilise la décomposition en facteurs premiers. Pourquoi s’en priver ?
Pierre dit :
9 mars 2010 à 22:05
Dans les anneaux factoriels, comme $\mathbf Z$ , il n’y a en effet aucune raison de s’en priver. Mais dans un anneau intègre quelconque…
MathOMan dit :
10 mars 2010 à 23:57
Oui, je sais, mais à mon avis les anneaux intègres non-factoriels interviennent rarement dans l’algèbre de base enseignée au niveau des prépa. Cela signifie que tu as montré cette proposition à tes élèves pour un anneau intègre quelconque ?

J’ai fait cette remarque juste parce que depuis qqs années je remarque que l’EN a commis un crime : on n’apprend plus la factorisation en nombres premiers au collège, et du coup cet outil puissant en arithmétique leur manque complètement. Même en prépa on rencontre des élèves (ceux qui n’ont pas pris spécialité math en terminale) qui ne savent pas trouver un plus petit dénominateur commun de trois fractions.
JLT dit :
11 mars 2010 à 7:11
Attention, il y a une subtilité : si K est le corps des fractions de A, et si a et b sont deux éléments de A, on a deux notions de PGCD : celle dans A et celle dans K. Pour montrer que ce sont les mêmes, il faut voir que si x/y divise a et b alors x/y divise PGCD(a,b). Cela revient à dire que si a et b admettent un PGCD alors
ya et yb aussi, et PGCD(ya,yb)=y PGCD(a,b).

Question : cette dernière égalité est-elle vraie pour tout anneau intègre?
Pierre dit :
11 mars 2010 à 16:28
Ah oui, bien vu ! Dans l’anneau intègre $A=\mathbf Q[X^2,X^3]$ par exemple, $X^2$ et $X^3$ admette un PGCD, mais pas dans le corps des fractions. Je pense qu’une façon (lâche) de corriger tout ce que j’ai dit dans l’article est de dire que les PGCD et PPCM sont supposés exister dans $K$ .

On peut noter que si $a,b\in A$ admettent un PGCD $d\in A$ dans $K$ , alors $d$ est un PGCD de $a,b$ dans $A$ .
JLT dit :
11 mars 2010 à 19:07
Oui mais dans ce cas le corps de fractions apparait deja dans l’enonce, et on n’a rien construit du tout.

En fait, voici une propriete valable pour tout anneau integre A : si a et b sont deux elements non nuls de A tels que pgcd(xa,xb) existe pour tout x, alors a et b possedent un ppcm, egal à ab/pgcd(a,b).

En effet, notons m=ab/pgcd(a,b). Il est clair que m est un multiple commun de a et b. Reciproquement, soit x un multiple commun et montrons que m divise x.

On a a|x et b|x donc ab divise ax et bx, donc ab divise d, ou on a noté d=pgcd(ax,bx).

Or, x divise ax et bx donc x|d. Comme d/x divise a et b, il divise pgcd(a,b) donc d divise x pgcd(a,b).

Par consequent, ab divise x pgcd(a,b), et donc m divise x. CQFD.

Remarque : je ne vois pas simplifier notablement cette demonstration en passant par le corps des fractions. De plus, au niveau bac+1 ou bac+2 on travaille rarement sur des anneaux integres non factoriels dont tous les couples d’elements possedent un pgcd : j’imagine que quasiment aucun eleve de classe prepa serait capable de fournir un exemple d’un tel anneau.
Pierre dit :
12 mars 2010 à 10:34
Oui, passer par le corps des fractions ne simplifie la preuve que si on modifie la définition du PGCD/PPCM (je l’ai indiqué dans l’article), et c’est un peu de la triche. Mea culpa.

L’intérêt de votre preuve n’est pas seulement qu’elle s’applique à des anneaux plus généraux, c’est aussi qu’elle montre bien que les preuves classiques (au sens : celles que je lis dans les livres bac+1 ou bac+2), avec l’utilisation d’une relation de Bézout, sont un peu tordues !

P.S. Concernant les deux définitions du PGCD/PPCM dans A (l’une en restant dans A, l’autre en passant par K), je me demande, en regardant l’exemple de $A=k[X^2,X^3]$ si la seconde n’est pas «meilleure» (ok, avec un peu de mauvaise foi, j’essaye de sauver mon article). En effet, a-t-on envie de dire que $X^2,X^3$ sont premiers entre eux dans $A$ (première définition du PGCD), ou a-t-on envie de dire que $X^2,X^3$ n’ont pas de PGCD dans $A$ (seconde définition du PGCD) ? Question de goût ?

7 commentaires pour “Corps des fractions”

Laisser un commentaire