Weblog de Pierre Bernard

Pierre, le 07-03-2010

Je me pose la petite question suivante : dans un ensemble ordonné $(E,\le)$ , une partie $A$ est dite cofinale si $\forall x\in E,\exists y\in A, x\le y$ . On considère l'ensemble $E$ des fonctions continues $f:[0,1]\to \mathbf R$ telles que $f(0)=f(1)=0$ , ordonné par la relation d'ordre «naturelle». L'ensemble des fonctions concaves appartenant à $E$ est-il cofinal ?

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 4 commentaire(s) ]

4 commentaires pour “Fonctions concaves”

ludovic dit :
7 mars 2010 à 20:48
On considère $f$ une fonction continue. On considère $C$ l’enveloppe convexe du graphe de $f$ . Cet ensemble est compact. Pour tout $x$ dans $[0,1]$ , il existe un réel $y$ maximal tel que $(x,y) \in C$ . On le note $g(x)$ . On définit ainsi une fonction $g$ sur $[0,1]$ . Puisque $C$ contient $[0,1] \times \{0\}$ et que $C$ est convexe, le sous-graphe de $g$ est un ensemble convexe. La fonction $g$ est donc concave.

Il reste à montrer la continuité sur le bord de l’intervalle. Il est clair que sur tout segment $I$ , la fonction $g$ est positive et majorée par $\sup_I f$ . Cela impose que la fonction $g$ est continue en $\ 0$ et en $1$ . Elle est donc continue sur $[0,1]$ .
ludovic dit :
7 mars 2010 à 21:05
Ma dernière affirmation est complètement fausse. La continuité de $g$ n’est pas évidente du tout.
JLT dit :
7 mars 2010 à 21:40
Montrons par exemple la continuité de g en 0. Soit M=sup(f). Soit $\epsilon>0$ . On cherche $\zeta>0$ tel que pour tout $x\in [0,\zeta]$ on ait $g(x)\le \epsilon$ .

Comme f est continue en 0, il existe $\eta>0$ tel que pour tout $x\in [0,\eta]$ on ait $f(x)\le \epsilon/2$ .

Choisissons $\zeta>0$ tel que $\zeta\le \eta\epsilon/(2M)$ .
Soit $(x,y)$ un élément de C tel que $x\le \zeta$ . Il existe $\lambda_i>0, x_i\in [0,1]$ tels que $\sum\lambda_i=1$ , $x=\sum \lambda_i x_i$ et $y=\sum \lambda_i f(x_i)$ .

On a $\zeta \ge \sum_i\lambda_i x_i \ge \eta \sum_{x_i\ge\eta} \lambda_i$ ,

donc $y\le \sum_{x_i<\eta} \lambda_i f(x_i)+\sum_{x_i\ge\eta} \lambda_i f(x_i)$
$\le \sum_{x_i<\eta} \lambda_i \epsilon/2 + \sum_{x_i\ge\eta} \lambda_i M$
$\le \epsilon/2 + \zeta M/\eta \le \epsilon$ .

En passant au sup, ceci montre que pour tout $x\in [0,\zeta]$ on a $g(x)\le \epsilon$ , donc g est semi-continue supérieurement en 0. Comme g est concave, ceci entraîne que g est continue en 0.
Pierre dit :
9 mars 2010 à 0:01
Merci pour ces réponses !

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