Encore des fonctions périodiques

Pierre, le 05-02-2010

En commentant un article précédent, JLT avait posé la question suivante :

Si f, g, et f+g sont périodiques, ont-elles une période commune ?

Je crois que la réponse est : en général non (au sens : il existe au moins un contre-exemple). Je propose le contre-exemple pas explicite du tout suivant : il existe deux sous-\mathbf Q-espaces vectoriels, non nuls, d'intersection nulle, F et G de \mathbf R admettant un supplémentaire commun non nul S. On définit alors f,g:\mathbf R\to \mathbf R, en posant f=0\oplus \mathrm{id}_S dans la somme directe \mathbf R=F\oplus S, et g=0\oplus (-\mathrm{id}_S) dans la somme directe \mathbf R=G\oplus S. Le groupe des périodes f (resp. g) est \mathrm{ker}(f)=F (resp. \mathrm{ker}(g)=G). Le groupe des périodes de f+g est \mathrm{ker}(f+g)=S (sauf erreur). Donc f,g,f+g sont toutes les trois périodiques mais 0 est leur seule période commune.

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 3 commentaire(s) ]

3 commentaires pour “Encore des fonctions périodiques”

  1. JLT dit :
    6 février 2010 à 10:55

    Ca marche si on suppose que F et G ont une intersection nulle (on peut par exemple prendre F et G deux droites distinctes et S=H+L, où L est une droite de F+G distincte de F et de G et H un supplémentaire de F+G). Une variante consiste à définir f(a+b\sqrt{2})=a et g(a+b\sqrt{2})=b-a si a et b sont des entiers relatifs, et f(x)=g(x)=0 si x n’est pas de la forme a+b\sqrt{2}.

    Remarque : il n’y a pas de contre-exemple continu.

  2. MathOMan dit :
    8 février 2010 à 22:35

    J’ai l’impression que depuis deux mois JLT résoud tous nos problèmes d’analyse par le couple 1 et racine carrée de 2. N’est-ce pas ? ;-)

  3. Pierre dit :
    8 février 2010 à 22:46
    Oui. J’avais bien aimé les deux groupes topologiques ((\mathbf Q(\sqrt 2),+) et (\mathbf Q(\sqrt 3),+) si je me souviens bien) non isomorphes dans \mathbf{GrTop} mais isomorphes dans \mathbf{Gr} et dans \mathbf{Top}.

Laisser un commentaire