Dérivée et périodicité

Pierre, le 01-02-2010

Alors que je posais l'exercice plutôt trivial suivant : Démontrer que la dérivée d'une fonction dérivable périodique est périodique, un élève m'a posé la question plus amusante :

Est-ce que la dérivée peut avoir une période (strictement) plus petite que la fonction ?

Dit autrement : une fonction périodique dérivable a-t-elle le même groupe de périodes que sa dérivée ? Ce n'est pas très difficile et cela me fait un très bon exercice à ajouter dans mon catalogue.

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 5 commentaire(s) ]

5 commentaires pour “Dérivée et périodicité”

  1. Pierre Lecomte dit :
    2 février 2010 à 13:42

    On a le résultat suivant: une fonction continue périodique de période T admet une primitive périodique si et seulement si son intégrale sur un intervalle de longueur T est nulle.

    En fait, la valeur c de cette intégrale ne dépend pas de l’intervalle et toute primitive de la fonction est la somme d’une fonction périodique de période T et de la fonction linéaire t\mapsto ct.

  2. JLT dit :
    2 février 2010 à 20:46

    Voici une question plus amusante :
    si f, g et f+g sont periodiques, ont-elles une periode commune?

  3. MathOMan dit :
    2 février 2010 à 21:43

    Le commentaire de PL ne répond à la question de PB que sous l’hypothèse que f est continûment dérivable. Dans le cas de dérivabilité seule, voici rapidement une idée de preuve. On peut distinguer deux cas.

    1) Le groupe des périodes de f’ est généré par un seul élement. Il est alors facile d’en déduire que c’est le même que le groupe des périodes de f. (Utiliser l’argument de PL avec l’intégrale sur une période.)

    2) Le groupe des périodes de f’ n’est pas généré par un seul élement. On peut alors montrer (c’est un classique) qu’il est dense dans R. Si f’ prend deux valeurs distinctes a < b, alors on en déduit, grâce à la propriété d’une dérivée de prendre les valeurs intérmédiaires, que le graphe de f’ est dense dans Rx[a,b]. Je crois que c’est impossible… (j’avoue que je dois y réfléchir encore). Donc f’ est constante et par conséquence f est une fonction affine. Enfin, pour être périodique f doit être constant et f’=0, donc les deux groupes de périodes sont R.

  4. ludovic dit :
    2 février 2010 à 21:51

    Il faudrait tout de même traiter le cas où la dérivée n’est pas continue. Pour cela, on étudie la fonction g(x)=f(x+T)-f(x) où T est une période de f^\prime. On a alors : g^\prime (x)=f^\prime (x+T)-f^\prime (x)=0. Ainsi, g est une fonction constante c. On obtient alors : f(x+nT)=f(x)+nc. Si c \neq 0, la fonction f n’est pas bornée. Puisque f est continue et périodique. Elle est bornée et donc c=0, la fonction f est T périodique.

  5. MathOMan dit :
    3 février 2010 à 0:36

    Ah oui, c’est beaucoup mieux comme démarche !

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