Un gentil monstre

Pierre, le 22-01-2010

J'ai donné un devoir sur la continuité à mes élèves avec une question plus difficile :

Démontrer qu'il existe au moins une fonction monstrueuse de \mathbf R dans \mathbf R (une fonction étant dite monstrueuse si son graphe est dense dans le plan).

Si l'on accepte l'existence d'une forme \mathbf Q-linéaire non nulle sur \mathbf R (par exemple si l'on accepte l'existence d'une \mathbf Q-base de \mathbf R), alors c'est gagné : une telle forme est monstrueuse, cela résulte facilement de ce qui est démontré dans ce même devoir. Mais on se doute bien qu'il existe une construction élémentaire. En voici une :

  1. Dans un premier temps, on va définir une fonction f:\mathbf R\to ]0,1[ monstrueuse mais à valeur dans ]0,1[. Pour tout réel x, notons \{x\}=x-\lfloor x\rfloor la partie fractionnaire de x (c'est «ce qu'il y a après la virgule»). Évidemment, x\mapsto \{x\} est une fonction 1-périodique affine par morceaux à valeurs dans [0,1[. Pour tout n\in\mathbf N, on définit une fonction g_n:\mathbf R\to [0,1[ en posant g_n(x)=\{2^n x\}. Il est facile de voir à quoi ressemble g_n : elle est affine par morceaux, \frac{1}{2^n}-périodique, et à valeurs dans [0,1[. On voit en particulier que, plus n est grand, plus g_n est «monstrueuse» (dans un sens non précisé). L'idée pour définir notre fonction f est d'utiliser les fonctions g_n, et de les utiliser d'autant plus que n est grand. Voilà comment : pour tout x\in\mathbf R de la forme x=\frac{k}{4^n} où k est un entier impair (notons que k et n sont alors parfaitement déterminés par x), on pose f(x)=g_n(x)=\left\{\frac{k}{2^n}\right\}\in ]0,1[. On prolonge f à \mathbf R n'importe comment, par exemple en posant f(x)=0 lorsque x n'est pas de la forme décrite ci-dessus. Vérifions que f est monstrueuse. Soit ]a,b[\times ]c,d[ \subset \mathbf R\times ]0,1[ un pavé ouvert non vide et montrons que ce pavé contient au moins un point du graphe de f. Il existe un entier n\in\mathbf N^* tel que \frac{1}{2^n} soit strictement inférieur à la longueur des intervalles ]a,b[ et ]c,d[. Donc il existe un entier k\in\{1,2,\ldots,2^n-1\} tel que \frac{k}{2^n}\in ]c,d[. On a donc f\left(\frac{k}{4^n}\right)=\left\{\frac{k}{2^n}\right\}=\frac{k}{2^n}\in ]c,d[. Ensuite, il existe l\in\mathbf Z tel que x:=\frac{k}{4^n}+\frac{l}{2^n}\in ]a,b[. Et on a f(x)=f\left(\frac{k+2^n l }{4^n}\right)=g_n\left(\frac{k+2^n}{4^n}\right) car k+2^n l est impair.
    Donc f(x)=\left\{\frac{k+2^n l}{2^n}\right\}=\left\{\frac{k}{2^n}+l\right\}=\left\{\frac{k}{2^n}\right\} \in ]c,d[, c.q.f.d.
  2. Maintenant qu'on a une fonction f:\mathbf R\to ]0,1[ monstrueuse, la fonction g:=\pi\left(f-\frac{1}{2}\right)
    est évidemment monstrueuse de \mathbf R\to \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[, puis la fonction h:=\tan\circ g est monstrueuse de \mathbf R dans \mathbf R.

En résumé, si on note v_2(x) la valuation diadique du rationnel x (c.a.d. v_2(x)=k si x=2^k\frac{u}{v} avec k\in\mathbf Z, et u,v entiers impairs) et v_2(x)=0 (par exemple) si x n'est pas rationnel, alors la fonction h:\mathbf R\to\mathbf R :

h:x\mapsto \tan\left(\pi\left(\left\{{\sqrt 2}^{v_2(x)} x\right\}-\frac{1}{2}\right)\right)

est monstrueuse (c.a.d. a son graphe dense dans le plan).

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 2 commentaire(s) ]

2 commentaires pour “Un gentil monstre”

  1. JLT dit :
    29 janvier 2010 à 18:14

    Autre possibilite :
    f(x)=c si x est de la forme a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3} avec a,b,c rationnels, et f(x)=0 sinon.

  2. JLT dit :
    29 janvier 2010 à 19:00

    Je voulais dire f(x)=a si x est de la forme a+b\sqrt{2} si a,b rationnels.

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