Cadre à suspendre au mur (devinette)

Pierre, le 22-12-2009

Si vous avez un cadre (avec une ficelle qui relie deux de ses coins) et deux clous plantés dans un mur, comment faire pour suspendre le cadre de sorte que, quelque soit le clou qu'on enlève, le cadre tombe ? Généraliser à trois clous, etc.

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 6 commentaire(s) ]

6 commentaires pour “Cadre à suspendre au mur (devinette)”

  1. MathOMan dit :
    26 décembre 2009 à 18:37

    Voici le dessin. (Je te laisse le soin de le découper et insérer…)

    L’idée est simple : notons E(n) le plan duqquel on a enlevé n points.
    Alors le groupe fondamental de E(2) est le groupe libre à deux générateurs a et b qui correspondent à faire un tour autour de chaque clou (disons dans le sens direct). Le dessin représente alors le lacet aba^{-1}b^{-1}.
    Enlever un clou correspond à quotienter de manière à ce que a (ou b) devienne le lacet nul. Dans les deux cas aba^{-1}b^{-1} devient le lacet nul dans le quotient.

    Pour la généralisation, c’est alors simple (mais plus compliqué à dessiner) :
    Dans E(3) dont le groupe fondamental est le libre de générateurs a, b, c, on prend
    dcd^{-1}c^{-1} où d désigne l’élément d=aba^{-1}b^{-1} déjà utilisé en haut.
    Alors ça casquade comme désiré.

    La construction par récurrence pour tout n est alors évident.

  2. Pierre dit :
    27 décembre 2009 à 10:58
    Bravo. On peut en effet prendre le commutateur [a,b] pour deux clous, [[a,b],c] pour trois clous, etc.

    Ci-dessous ton dessin converti de pdf à png par la commande :

    gs -r300 -sDEVICE=pngalpha -sOutputFile=dessin.png dessin.pdf

    cadre.png

  3. ludovic dit :
    27 décembre 2009 à 13:12

    Je le voyais plutôt du point de vue morphisme que du point de vue quotient mais cela revient au même. Il suffit de considérer les morphismes qui envoie les différents générateurs sur eux-mêmes sauf un qui est envoyé sur le neutre. L’ensemble des solutions est alors l’intersection des noyaux de ces morphismes.

    On peut aussi montrer facilement que le début peut être quelconque. Si w est le début du chemin et si a^{-1} n’est pas le dernier terme de w, alors \Big[\big[[w,a],b\big],c\Big] convient.

  4. Roberta dit :
    29 décembre 2009 à 9:57

    Tout m’impressionne, ici : la question, et la façon d’y répondre.

  5. Pierre dit :
    29 décembre 2009 à 10:09
    Pour la façon d’y répondre, d’accord. C’est des math, en fait de la topologie algébrique élémentaire, qui sont enseignées plusieurs années après le BAC.
    Pour la question, je ne vois pas ce qu’il y a d’impressionnant, sauf peut-être son aspect inutile, typique des questions de mathématiques déguisées en question «concrète».
  6. Roberta dit :
    29 décembre 2009 à 15:24

    Quand je disais « impressionne », je parlais de l’ensemble « question / réponse », de la façon hyper-technique de répondre à une question inutile. Mais c’est très joli.

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