Sous-groupe strictement inclus dans un de ses conjugués

Pierre, le 21-12-2009

C'est un petit problème d'algèbre. Tout est dans le titre : trouver un groupe G, un sous-groupe
H\subset G, et un élément a\in G, tels que H\subsetneq a^{-1}Ha. Bonne recherche et joyeuses fêtes :-)

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 6 commentaire(s) ]

6 commentaires pour “Sous-groupe strictement inclus dans un de ses conjugués”

  1. JLT dit :
    21 décembre 2009 à 17:13

    http://en.wikipedia.org/wiki/HNN_extension

  2. Pierre dit :
    21 décembre 2009 à 19:34
    Merci pour le lien.

    —————- attention, spoiler —————-

    Il suffit donc de considérer une extension HNN, disons \mathbf Z\subset G, de (\mathbf Z,+) et de dire que \mathbf Z et H:=2\mathbf Z sont isomorphes donc conjugués dans G.

    Au début, j’avais cherché sans succès une solution dans un groupe libre. Finalement, j’ai une solution plutôt triviale dans un groupe de permutations : on trouve un ensemble E, une partie A\subset E et une permutation h de E telle que h(A)\subsetneq A (ça court les rues). Ensuite, on prend pour G le groupe symétrique de E et pour H le sous-groupe formé des permutations qui induisent l’identité sur A.

  3. JLT dit :
    21 décembre 2009 à 21:30

    Si on veut une version plus élémentaire que cette extension HNN, on observe que les matrices

    A= \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0&1\end{array}\right)
    et
    B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0&1\end{array}\right)
    sont conjuguées dans G=GL(2,\mathbb{R}). Soit a tel que B=aAa^{-1}. Alors le groupe H engendré par A convient.

    En fait, cet exemple contient l’extension HNN, qui n’est autre qu’un produit semi-direct du groupe des nombres dyadiques par \mathbb{Z}, où l’action est la multiplication par 2.

  4. Ludovic dit :
    21 décembre 2009 à 23:59

    J’avais mémorisé le problème à l’envers (ie. Sous-groupe contenant strictement un de ses conjugués) mais les problèmes sont clairement équivalents. Cela m’a conduit dans une drôle de direction. Je vous livre mon idée je ne suis pas sûr des détails.

    Prenons comme groupe de départ \Z[X]. On construit un groupe tel que la multiplication par X soit une conjugaison.
    Pour cela, on considère le produit libre \mathcal{G} de \Z[X] avec \Z. On note \varepsilon l’élément de ce produit correspondant au 1 de \Z.
    On considère le groupe distingué \mathcal{H} engendré par les éléments de la forme : \varepsilon^{-1} P \varepsilon (-XP)
    On prend alors G= \mathcal{G}/\mathcal{H}.
    Si le morphisme canonique de \Z[X] dans G est injectif (cela reste à prouver), alors H=\Z[X], a=\varepsilon^{-1} doit convenir au problème.

  5. JLT dit :
    22 décembre 2009 à 9:37

    Ludovic : c’est une extension HNN correspondant à l’isomorphisme f: H\to K avec H=\mathbb{Z}[X], K=X \mathbb{Z}[X], et f(P)=XP, donc ça marche.

  6. Ludovic dit :
    22 décembre 2009 à 11:51

    Ok! Je n’avais pas pris le temps de lire la référence.

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