Un problème de topologie
Pierre, le 09-12-2009
Un collègue m'a posé ce problème : on lance une petite carte de France sur une grande carte de France. Démontrer qu'il existe au moins un point de la petite carte qui est au dessus du point correspondant sur la grande carte.
En fait, l'énoncé est probablement faux si la France possède un «trou» (et je crois que c'est le cas), autrement dit, il vaut mieux remplacer la France par un pays simplement connexe.
Reste à formaliser l'énoncé et à le prouver…
Catégorie(s) : Mathématiques
[ 7 commentaire(s) ]
9 décembre 2009 à 19:21
Soit F la France. Soit h une similitude directe de rapport <1 telle que h(F) soit inclus dans F. Comme F est un espace complet (!) et h est contractante, d’apres le theoreme du point fixe il existe a tel que h(a)=a. Donc l’enonce marche si par “petite” on entend “strictement plus petite”.
Par contre, si c’est “plus petit au sens large”, h serait une rotation donc il faudrait que F contienne son centre de gravite, ou bien que F ne soit stable par aucune rotation non triviale.
9 décembre 2009 à 19:25
10 décembre 2009 à 14:53
La France continentale possède-t-elle un trou comme l’Italie continentale en forme du Vatican ? Je ne le savais pas ! Mais c’est vrai, je n’avais pas d’histoire-géo en terminale…
C’est vrai que JLT est toujours très rapide et efficace. Est-il identique avec ELJJ ?
Voici une autre preuve par l’absurde, purement topologique, sans utilisation de métrique :
Notons D le disque unité fermé, C le cercle d’unité et j l’inclusion naturelle de C dans D. On sait que la France continentale est homéomorphe à D.
On suppose que le contraire de l’énoncé soit vrai. On a alors une application continue f de D dans D sans point fixe.
On définit une application continue g de D dans C de la manière suivante : pour tout x dans D soit g(x) l’unique point d’intersection entre C et la demi-droite ouverte issue de f(x) et passant par x.
Alors la fonction composée “j suivie de g” est l’identité sur C. Or le premier groupe d’homologie du cercle est Z, tandis que celui du disque est 0. D’après la propriété fonctorielle de l’homologie, on arrive alors à la contradiction que l’identité sur Z est la composée Z vers 0 vers Z.
10 décembre 2009 à 14:54
PS : C’est bien que ton blog est de retour. Il était hors ligne pendant plusieurs jours.
10 décembre 2009 à 20:08
PS : pour cause de déménagement, j’ai été privé d’accès à internet pendant quelques jours, et comme mon site web est hébergé sur un PC chez moi, plus de site web pendant quelques jours.
10 décembre 2009 à 20:32
“C’est vrai que JLT est toujours très rapide et efficace. Est-il identique avec ELJJ ?”
Euh… nan ! Mais merci pour la pub !
10 décembre 2009 à 23:40
En fait les groupes d’homologie ne donnent que le coup de grâce. L’étape importante est de passer de l’application continue f du disque D dans lui-même sans point fixe à une application continue g de D vers le bord laissant le bord invariant. Il est alors intuitivement clair qu’une telle application g ne peut pas exister (elle doit “déchirer” le disque, donc est discontinue) — en revanche aucune intuition ne peut nous dire que f ne peut pas être sans point fixe.