L’ensemble de Mandelbrot

Pierre, le 25-10-2009

Par définition, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des nombres complexes c tels que la suite définie par z_0=0 et \forall n\in\mathbf N, z_{n+1}=z_n^2+c ne tende pas vers \infty. On peut montrer que c'est un compact connexe, stable par conjugaison complexe, et dont la trace sur \mathbf R est [-2,\frac{1}{4}] (je recopie Wikipédia, sans savoir si ces résultats sont difficiles à obtenir…). Un de mes élèves a écrit un programme informatique (en Python) qui dessine l'ensemble de Mandelbrot. Le résultat est très joli :

Ensemble de Mandelbrot

Une question qu'on peut se poser (comme dans cet article sur la courbe du dragon) est : quelle est la mesure (c.a.d. l'aire) de l'ensemble de Mandelbrot ?

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 6 commentaire(s) ]

6 commentaires pour “L’ensemble de Mandelbrot”

  1. Valvino dit :
    26 octobre 2009 à 14:47

    Bonjour

    Je ne connais pas la réponse à ta question. Cependant, j’aimerai connaitre les grandes lignes que suit le programme informatique conçu par ton élève. Le résultat est magnifique!

    Valvino.

  2. Pierre dit :
    26 octobre 2009 à 15:11
    Bonjour,
    Je lui transmets ta demande par mail, il est le mieux placé pour répondre.
  3. Steven dit :
    26 octobre 2009 à 16:45

    Bonjour,

    mon programme procède de manière assez simple pour arriver à ce résultat. En premier lieu, un repère est défini au sein de la fenêtre. Ensuite, le programme parcourt chaque pixel dans la fenêtre, et calcule sa couleur de la manière suivante:

    On calcule les premiers termes de la suite (z_n) (initialement 50, mais ce nombre doit augmenter quand on “zoome” sur la courbe pour parvenir à un résultat satisfaisant) en utilisant comme c le nombre complexe correspondant au pixel dont on calcule la couleur dans le repère.
    D’après wikipédia, si le module d’un z_n de la suite est supérieur à deux, alors la suite diverge. À partir de là, si le module d’un z_n est supérieur à deux, on peut arrêter de calculer les termes de la suite, et faire un rapide calcul de la couleur en fonction du nombre d’itérations qu’il aura fallu pour pouvoir affirmer que la suite divergeait. Si les premiers termes de la suite sont calculés sans qu’il y en ait dont le module dépasse deux, alors on considère que la suite ne diverge pas, et donc le pixel prend la couleur noire.

    Dans mon programme, un nombre complexe “dans la partie bleue” diverge très lentement, et plus on “avance dans le dégradé bleu-noir”, plus la suite diverge vite.

    Voilà, j’espère avoir bien répondu à ta question, Valvino.

  4. Ludovic dit :
    26 octobre 2009 à 17:50

    Tiens une petite référence trouvée sur le net après une petite recherche sur Google :

    http://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html

    L’aire est évaluée à : 1.50659177+/-0.00000008

  5. mimi dit :
    3 novembre 2009 à 19:05

    Et elle est en quelle classe, cette élève ?

  6. Pierre dit :
    3 novembre 2009 à 19:16
    @Mimi : en MPSI.

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