Comparaison série/intégrale

Pierre, le 01-10-2009

Je pensais qu'avec les fonctions continues monotones, tout se passait très bien et très simplement. Par exemple, le résultat suivant est évident : soit f:[0,+\infty [\to \mathbf R_+ continue et décroissante. Alors la série de terme général f(n) a la même nature que l'intégrale de {f} entre {0} et +\infty.

J'ai découvert aujourd'hui qu'en cas de convergence de la série (et donc de l'intégrale), les restes \sum\limits_{n=N}^{+\infty} f(n) et \int\limits_N^{+\infty} f(x)\mathrm dx ne sont pas toujours équivalents (quand N\to +\infty). Apparemment, pour que ce soit vrai, il serait bien que {f} ne décroisse pas trop vite vers {0}.

Catégorie(s) : Mathématiques

[ 9 commentaire(s) ]

9 commentaires pour “Comparaison série/intégrale”

  1. Ludovic dit :
    2 octobre 2009 à 10:16

    En effet, ça doit être le cas pour f(x)=e^{-x^2}, non?
    Simple intuition mais, dans ce cas, on doit même avoir : \displaystyle \sum_{n=N}^{+\infty} f(n) \sim \int_{N-1}^{+\infty} f(t) dt =o\left(\int_{N}^{+\infty} f(t) dt \right)

    Par contre si \displaystyle \int_{N-1}^{+\infty} f(t) dt \sim \int_{N}^{+\infty} f(t) dt , alors on a : \displaystyle \sum_{n=N}^{+\infty} f(n) \sim \int_{N-1}^{+\infty} f(t) dt \sim \int_{N}^{+\infty} f(t) dt. Ce n’est que l’application du théorème des gendarmes pour les équivalences.

  2. Pierre dit :
    2 octobre 2009 à 16:44
    Tu veux dire qu’on a tout le temps \displaystyle \sum_{n=N}^{+\infty} f(n) \sim \int_{N-1}^{+\infty} f(t) dt ?
  3. Ludovic dit :
    4 octobre 2009 à 15:43

    Non! On a : \displaystyle \int_{N-1}^{+\infty} f(t) dt \leq \sum_{n=N}^{+\infty} f(n) \leq \int_{N}^{+\infty} f(t) dt. En dehors de cela et de leur décroissance vers 0, tout est possible à mon avis.

    Par exemple, si f=x \longmapsto exp(-t), on a : \displaystyle \sum_{n=N}^{+\infty} f(n)= \frac{e}{e-1} e^{-N}, \displaystyle \int_{N-1}^{+\infty} f(t) dt = e.e^{-N} et \displaystyle \int_{N}^{+\infty} f(t) dt=e^{-N}.

    Autre exemple, pour f:t \longmapsto \frac{1}{t^2}, elles sont toutes les trois équivalentes.

    Encore un autre exemple, si f=x \longmapsto t^2*exp(-t^2), alors \displaystyle \int_{N}^{+\infty} f(t) dt=o\left( \int_{N-1}^{+\infty} f(t) dt\right). Dans ce cas, je ne sais pas ce que l’on peut dire sur la somme.

  4. JLT dit :
    4 octobre 2009 à 18:14

    Si \displaystyle\int_{N+1}^\infty f(t) dt = o\left( \int_N^\infty f(t) dt\right), alors il est facile de voir que \displaystyle\sum_{n=N}^\infty f(n) \sim f(N)+f(N+1).

  5. Julien S. dit :
    27 décembre 2009 à 11:24

    En fait, on peut classer (grosso-modo) en trois groupe les comportements des restes :
    -soit le reste est équivalent au reste de l’intégrale (series de type riemann, bertrand)
    -soit le reste est équivalent au premier terme du reste (series à convergence rapide, ex : 1/exp(-n!))
    -soit le reste est equivalent au terme general (a un coeff près a determiner, c’est le cas des séries géométriques)

    tu peux aller voir le cours de mon ancien prof de spé, il répond exactement a ta question ici:
    http://alain.chilles.free.fr/seriesnum.pdf
    voir plus précisément p.12

    A bientot,
    JS.

  6. Pierre dit :
    27 décembre 2009 à 13:24
    Merci Julien,
    Je me souviens que tu m’avais déjà expliqué des choses sur des trucs similaires !
  7. Julien S. dit :
    27 décembre 2009 à 16:13

    Ouais. J’aime bien les trucs de trouver des équivalents de suites ou de séries. Par exemple étudier une suite par l’intermédiaire d’une série (par exemple u_{n+1}=\sin(u_n)).

    a bientot.
    ps: content d’avoir retrouvé ta trace.

  8. Pierre dit :
    27 décembre 2009 à 16:22
    Je regarde ta suite récurrente… avec le lien que tu as donné, ça devrait être facile (?).

    Si tu es dans le coin un jour, n’hésite pas à passer :)
    A +

  9. Julien S. dit :
    27 décembre 2009 à 17:43

    euh, oui sans doute. Cette partie de mes connaissances vient quasi-exclusivement de mon prof de spé.

    J’ai oublié de dire que ta question peut aussi être posée (et traité de la même manière) pour les sommes partielles des séries divergentes.

    Ok, si je passe à Lorient, je te ferai coucou. De ton côté, si tu passes à Paris ou à Stuttgart (où j’habite en fait…) n’hésite pas non plus.

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