Ceux qui connaissent un peu la Bretagne reconnaîtront sans doute le lieu

Tout cela est très bien, mais encore faut-il avoir une idée de ce qu'est une fonction harmonique. C'est plus simple à comprendre dans la version discrète du problème de Dirichlet qui s'énonce ainsi (dans le cas du rectangle) : étant placés des nombres dans les cases du bord d'un damier, peut-on placer des nombres dans les autres cases de sorte que chacun d'entre eux soit la moyenne de ceux qui se trouvent dans les quatre cases voisines ? Le problème de Dirichlet discret admet toujours une unique solution, c'est un exercice d'algèbre linéaire dont j'avais déjà parlé. Une fonction qui a cette propriété de moyenne est dite harmonique; c'est l'analogue discret des fonctions harmoniques du premier paragraphe.

Je ne sais pas si on peut, en voyant la surface représentative d'une fonction, dire si elle est harmonique ou pas. Tout ce que je sais c'est qu'une fonction harmonique, dans le cas discret comme dans le cas continu, n'a pas d'extremum local ailleurs qu'au bord de son domaine.

Je me suis livré à un exercice d'informatique pratique : partant d'une fonction quelconque définie sur un rectangle (en fait un carré), la rendre «de plus en plus harmonique» en appliquant l'algorithme naïf qui consiste à remplacer la valeur en chaque point par la moyenne des valeurs voisines. Le plus long a été de lire la documentation des logiciels utilisés (python et gnuplot). Le résultat sont les images gif animées suivantes dont je suis très fier

• dirichlet1.gif
• dirichlet2.gif

Les valeurs au bord du carré restent inchangées, c'est la règle du jeu. Pour le reste, on voit que les creux et les bosses sont gommés.

set terminal gif animate giant transparent
set output 'dirichlet.gif'
set size 1,1.7
set pm3d
set cbrange [-60:60]
set zrange [-60:60]
set dgrid 50,50,2
unset key
unset tics
unset border
unset colorbox
splot 'data0' with pm3d
splot 'data1' with pm3d
splot 'data2' with pm3d
splot 'data3' with pm3d
splot 'data4' with pm3d
splot 'data5' with pm3d
...

Une fois entré tout ça (jusqu'à data249 dans mon cas) dans un fichier toto, on utilise simplement la commande :

gnuplot toto

pour obtenir l'image dirichlet.gif que vous voyez plus haut. Les fichiers data0, data1, etc. contiennent des coordonnées de points dans l'espace (sous la forme de trois colonnes) et sont fabriqués par un script écrit en python. L'option de gnuplot à laquelle revient tout le mérite est sans doute set dgrid car c'est par elle qu'on obtient une surface et non un nuage de points (comportement par défaut de Gnuplot). La couleur fonction de l'altitude est fournie par l'option set pm3d.

• Tiré d'une comédie musicale très célèbre (je déteste les comédies musicales) :
  
• John Coltrane (je lis sur Wikipédia qu'il est considéré comme l'un des artistes les plus importants de la musique de la deuxième moitié du XXe siècle), pour les amateurs de jazz :
  

Je vais maintenant voir si les vacances d'été passent aussi vite.

PS1. Je ne vais pas indiquer le poids et la taille, surtout après ce que j'en avais dit.

PS2. On peut tout faire avec LaTeX (et TikZ), même un landau :

definecolor{brique}{rgb}{0.4,0,0}
\definecolor{bordeau}{rgb}{0.5,0,0}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75,
background rectangle/.style={
double,thick,draw=bordeau,rounded corners},
inner frame sep=1.3cm,show background rectangle]
\colorlet{capote}{brique}
\colorlet{landau}{bordeau}
\colorlet{poignee}{brique}
\colorlet{csupport}{brique}
\colorlet{crayon}{brique}
\colorlet{croue}{bordeau}
\nvar{\lrayon}{0.8cm}
\nvar{\erayon}{0.03cm}
\nvar{\eroue}{0.08cm}
\draw[line width=0.13cm, draw=poignee] (1.8cm,0) arc (-180:-280:0.3);
\draw[line width=0.08cm,draw=csupport] (0,0) -- (-70:3cm);
\draw[line width=0.08cm,draw=csupport] (0,0) -- (-110:3cm);
\draw[fill=landau,draw=landau] (0,0) -- (0:2cm) arc (0:-180:2cm) -- cycle;
\draw[fill=capote,draw=capote] (0,0) -- (-175:2.2cm) arc (-175:-260:2cm) -- cycle;
\foreach \a in {0,30,...,330} {\draw[line width=\erayon,draw=crayon] (-110:3cm) -- +(\a:0.8cm);};
\foreach \a in {0,30,...,330} {\draw[line width=\erayon,draw=crayon] (-70:3cm) -- +(\a:0.8cm);};
\draw[line width=\eroue,draw=croue] (-70:3cm) circle (\lrayon);
\draw[line width=\eroue,draw=croue] (-110:3cm) circle (\lrayon);
\end{tikzpicture}

Il y a autre chose; le programme officiel dit :

Il convient de souligner que le choix d’une origine du plan ou de l’espace permet d’identifier points et vecteurs. On é́vitera cependant de faire systé́matiquement cette identification.

Mais pour identifier (ou pas) points et vecteurs, il faudrait d'abord définir ce qu'est un point ! Problème : la définition des espaces affines n'est pas au programme (on définit seulement les sous-espaces affines des espaces vectoriels par exemple). Pour ma part, je ne vois pas quel problème il y a à appeler point tout élément d'un espace vectoriel. La question de l'identification point/vecteur ne se pose alors plus

En résumé :

• En faisant de la géométrie affine à moitié (sans définir les espaces affines), il me semble qu'on complique les choses pour les élèves (et pour les enseignants). Il serait plus simple, par exemple, de ne parler que de vecteurs.
• En répétant «le plan», «l'espace» aux élèves en cours de math, on leur fait croire que la géométrie en math, c'est comme en physique : il n'y a qu'un plan et qu'un espace (et qu'il existe avant les math. !). Cela va être compliqué ensuite d'expliquer la présentation axiomatique, l'existence de plusieurs modèles pour une théorie, la géométrie non euclidienne, etc.

P.S. j'ai de nombreux collègues (probablement tous en fait) qui ne sont pas du même avis que moi, donc je suis peut-être dans l'erreur…

Démontrer que si deux matrices commutent,
alors . Donner un contre-exemple lorsque et
ne commutent pas.

En cherchant un contre-exemple, je me suis posé la question suivante : toute matrice est-elle somme de deux carrés ? Je pense que c'est une question facile, mais pas triviale, enfin j'espère ! J'ai passé un peu de temps à chercher une preuve jolie au sens où elle est peu calculatoire. En contrepartie, elle n'est pas accessible pour mes élèves par exemple, à cause de l'utilisation d'un gros théorème qu'il verront plus tard. Je joins cette preuve ci-dessous, écrite en blanc sur fond blanc pour vous laisser le plaisir de chercher

Preuve (en blanc sur fond blanc) :
On calcule facilement la différentielle de l'élévation au carré en la matrice unité et on voit ainsi que l'élévation au carré est un difféomorphisme local en la matrice unité. Ainsi le groupe (bug, évidemment, merci à JLT de me l'avoir signalé. La preuve est néanmoins facilement réparable, voir les commentaires) des carrés des matrices inversibles est ouvert dans l'espace des matrices. En particulier toute matrice assez proche de la matrice unité ou de son opposé (qui est un carré car on est en dimension 2, penser aux rotations planes…) est un carré. Il suffit maintenant d'ajouter une constante assez grande à la diagonale de M pour conclure facilement que M est la somme de deux carrés. c.q.f.d.

Calculer le déterminant de la transposition .

Je lis la réponse suivante :

La transposition laisse invariant les points situés sur la diagonale, elle peut s'écrire comme un produit de transpositions, il y en a donc le déterminant cherché est .

Ce raisonnement n'a aucun sens, mais le résultat est le bon. L'idée de l'élève est-elle bonne ?

Question : Soit une famille de réels, étant un ensemble fini non vide. Montrer que .

Réponse : On a , etc.

Non seulement je mets zéro à la question, mais ça me coupe l'envie de lire le reste de la copie (et de mettre des points au reste de la copie). Comment peut-on écrire le symbole sans se poser la moindre question, comme si c'était une décoration ?