Si , , et sont périodiques, ont-elles une période commune ?

Je crois que la réponse est : en général non (au sens : il existe au moins un contre-exemple). Je propose le contre-exemple pas explicite du tout suivant : il existe deux sous--espaces vectoriels, non nuls, d'intersection nulle, et de admettant un supplémentaire commun non nul . On définit alors , en posant dans la somme directe , et dans la somme directe . Le groupe des périodes (resp. ) est (resp. ). Le groupe des périodes de est (sauf erreur). Donc sont toutes les trois périodiques mais 0 est leur seule période commune.

• Toutes les hypothèses du genre , pour soi-disant assurer l'existence d'une base.
  Comme si les espaces vectoriels nuls n'avaient pas de base ! Le zéro et l'ensemble vide sont justement là, et depuis déjà longtemps, pour rendre les énoncés plus jolis. Par exemple, cela fait déjà longtemps qu'on ne dit plus «tout ensemble fini non vide à éléments possède sous-ensembles» mais «tout ensemble fini à éléments possède sous-ensembles».
• La définition des «espaces de dimension finie» avant la définition de la dimension. Ce n'est pas très grave, et c'est conforme à mon programme officiel. Mais c'est quand même moche de parler d'espaces de dimension finie avant d'avoir défini la dimension.
• Une véritable erreur (qui a peut-être été corrigée dans les éditions suivantes) : Grifone affirme sans se poser de question qu'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie. Or ce résultat n'est ni plus ni moins trivial que la plupart des autres résultats du livre.

Est-ce que la dérivée peut avoir une période (strictement) plus petite que la fonction ?

Dit autrement : une fonction périodique dérivable a-t-elle le même groupe de périodes que sa dérivée ? Ce n'est pas très difficile et cela me fait un très bon exercice à ajouter dans mon catalogue.

Démontrer qu'il existe au moins une fonction monstrueuse de dans (une fonction étant dite monstrueuse si son graphe est dense dans le plan).

Si l'on accepte l'existence d'une forme -linéaire non nulle sur (par exemple si l'on accepte l'existence d'une -base de ), alors c'est gagné : une telle forme est monstrueuse, cela résulte facilement de ce qui est démontré dans ce même devoir. Mais on se doute bien qu'il existe une construction élémentaire. En voici une :

1. Dans un premier temps, on va définir une fonction monstrueuse mais à valeur dans . Pour tout réel , notons la partie fractionnaire de (c'est «ce qu'il y a après la virgule»). Évidemment, est une fonction 1-périodique affine par morceaux à valeurs dans . Pour tout , on définit une fonction en posant . Il est facile de voir à quoi ressemble  : elle est affine par morceaux, -périodique, et à valeurs dans . On voit en particulier que, plus est grand, plus est «monstrueuse» (dans un sens non précisé). L'idée pour définir notre fonction est d'utiliser les fonctions , et de les utiliser d'autant plus que est grand. Voilà comment : pour tout de la forme où est un entier impair (notons que et sont alors parfaitement déterminés par ), on pose . On prolonge à n'importe comment, par exemple en posant lorsque n'est pas de la forme décrite ci-dessus. Vérifions que est monstrueuse. Soit un pavé ouvert non vide et montrons que ce pavé contient au moins un point du graphe de . Il existe un entier tel que soit strictement inférieur à la longueur des intervalles et . Donc il existe un entier tel que . On a donc . Ensuite, il existe tel que . Et on a car est impair.
   Donc , c.q.f.d.
2. Maintenant qu'on a une fonction monstrueuse, la fonction
   est évidemment monstrueuse de , puis la fonction est monstrueuse de dans .

En résumé, si on note la valuation diadique du rationnel (c.a.d. si avec , et entiers impairs) et (par exemple) si n'est pas rationnel, alors la fonction  :

est monstrueuse (c.a.d. a son graphe dense dans le plan).

Pour finir, je souhaite une bonne année 2010 à tout lecteur de cette page web.

Jean-François Copé, a annoncé mardi 22 décembre le dépôt par son groupe d'une proposition de loi et d'une résolution visant à interdire d'avoir le visage totalement couvert dans l'espace public

Pourquoi veulent-ils que la France rejoigne les états qui disent à leurs citoyens ce qu'il faut porter ou ne pas porter dans la rue

Sur l'ordinateur A (celui d'où sortira le son).

Le logiciel mpd s'installe sous Debian comme la plupart des logiciels, en tant que root :

apt-get install mpd

Ce n'est pas plus compliqué sous d'autres distributions Linux. Une fois installé, on peut aller modifier le fichier de configuration /etc/mpd.conf, en particulier la ligne music_directory "..." où il faut indiquer l'emplacement des fichiers de musiques. Il faut aussi passer la ligne bind_to_adresse en commentaire, si on veut utiliser mpd depuis un autre ordinateur du réseau local. Ensuite, pour la première fois, on crée la base de donnée des fichiers de musique :

mpd --create-db

Sur les ordinateurs B, C, … (téléphone portable ?)

Pour utiliser mpd, à distance ou non, on utilise ce qu'on appelle un logiciel client. Lui a une interface graphique en général ! Il y a du choix, et certains ressemblent à un lecteur multimédia «classique». J'en ai essayé deux :

Music Player Minion

C'est un «module complémentaire» de Firefox :

ncmpc

Dans un terminal, donc très esthétique

Installation sous Debian :

apt-get install ncmpc

Utilisation sur l'ordinateur A :

ncmpc

Sur un ordinateur B :

ncmpc -h IP

en remplaçant IP par l'adresse de B.

En fait, l'énoncé est probablement faux si la France possède un «trou» (et je crois que c'est le cas), autrement dit, il vaut mieux remplacer la France par un pays simplement connexe.

Reste à formaliser l'énoncé et à le prouver…