Weblog de Pierre Bernard | Mathématiques

Pierre, le 05-09-2010

Pendant les vacances, comme probablement beaucoup de gens, je lis plus que d'habitude, surtout si je voyage. Dans mon cas : deux fois douze heures de vol à tuer, sans parler de l'attente dans les aéroports. En complément de livres «classiques», j'utilise un truc bien pratique quand on aime un peu les mathématiques : j'ai un livre de problèmes posés aux olympiades de mathématiques. Les énoncés sont courts, on peut en garder un en tête et y réfléchir dans un aéroport, lors d'un contrôle des passeports, voire lors d'une conversation ennuyeuse (discrètement), etc.
En principe, ce sont des exercices pour les petits, mais pour moi c'est très bien Je vous donne un exemple :

Soient $x_1,x_2,\ldots,x_{10}$ dix nombres entiers. Démontrer qu'il existe une combinaison $a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots +a_{10}x_{10}$ , avec les $a_i\in \{-1,0,1\}$ non tous nuls, qui est divisible par 1001.

Bonne chance !

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Problème de Dirichlet, en images

Pierre, le 06-07-2010

Commençons par des choses compliquées : le problème de Dirichlet sur un ouvert U du plan, consiste à étudier l'existence et l'unicité d'un prolongement, continu sur l'adhérence de U, de classe C² et harmonique sur U, pour une fonction continue donnée sur la frontière de U. Si U n'est pas trop méchant, l'unicité est une belle application du théorème de Green. L'existence n'est pas toujours vraie, elle l'est si U est un disque par exemple.

Tout cela est très bien, mais encore faut-il avoir une idée de ce qu'est une fonction harmonique. C'est plus simple à comprendre dans la version discrète du problème de Dirichlet qui s'énonce ainsi (dans le cas du rectangle) : étant placés des nombres dans les cases du bord d'un damier, peut-on placer des nombres dans les autres cases de sorte que chacun d'entre eux soit la moyenne de ceux qui se trouvent dans les quatre cases voisines ? Le problème de Dirichlet discret admet toujours une unique solution, c'est un exercice d'algèbre linéaire dont j'avais déjà parlé. Une fonction qui a cette propriété de moyenne est dite harmonique; c'est l'analogue discret des fonctions harmoniques du premier paragraphe.

Je ne sais pas si on peut, en voyant la surface représentative d'une fonction, dire si elle est harmonique ou pas. Tout ce que je sais c'est qu'une fonction harmonique, dans le cas discret comme dans le cas continu, n'a pas d'extremum local ailleurs qu'au bord de son domaine.

Je me suis livré à un exercice d'informatique pratique : partant d'une fonction quelconque définie sur un rectangle (en fait un carré), la rendre «de plus en plus harmonique» en appliquant l'algorithme naïf qui consiste à remplacer la valeur en chaque point par la moyenne des valeurs voisines. Le plus long a été de lire la documentation des logiciels utilisés (python et gnuplot). Le résultat sont les images gif animées suivantes dont je suis très fier

Les valeurs au bord du carré restent inchangées, c'est la règle du jeu. Pour le reste, on voit que les creux et les bosses sont gommés.

Le script gnuplot utilisé est le suivant :

set terminal gif animate giant transparent
set output 'dirichlet.gif'
set size 1,1.7
set pm3d
set cbrange [-60:60]
set zrange [-60:60]
set dgrid 50,50,2
unset key
unset tics
unset border
unset colorbox
splot 'data0' with pm3d
splot 'data1' with pm3d
splot 'data2' with pm3d
splot 'data3' with pm3d
splot 'data4' with pm3d
splot 'data5' with pm3d
...

Une fois entré tout ça (jusqu'à data249 dans mon cas) dans un fichier toto, on utilise simplement la commande :

gnuplot toto

pour obtenir l'image dirichlet.gif que vous voyez plus haut. Les fichiers data0, data1, etc. contiennent des coordonnées de points dans l'espace (sous la forme de trois colonnes) et sont fabriqués par un script écrit en python. L'option de gnuplot à laquelle revient tout le mérite est sans doute set dgrid car c'est par elle qu'on obtient une surface et non un nuage de points (comportement par défaut de Gnuplot). La couleur fonction de l'altitude est fournie par l'option set pm3d.

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L’enseignement de la géométrie m’énerve

Pierre, le 04-06-2010

(… pas toute la géométrie) Je rencontre cette année, de nombreux exercices, a priori dans l'esprit du programme officiel, dont l'énoncé contient des choses comme «le plan» ou «l'espace». Mais c'est quoi «le plan» ? Je connais le plan $\mathbf R^2$ , le plan des suites $(u_n)$ qui vérifient $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ , le plan des solutions de l'équation différentielle $y''+y+1=0$ , etc. Tous ces plans sont bien sûr isomorphes mais pas de façon unique, alors c'est lequel «le plan» ? Dans l'esprit du programme officiel, on est très rigoureux sur certains points étonnants, par exemple l'application $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} y+z \\ x+z \\ y+z \end{pmatrix}$ n'est pas un endomorphisme de $\mathbf R^3$ mais de $\mathcal M_{3,1}(\mathbf R)$ , mais on se permet de parler du «plan» sans jamais dire lequel. C'est d'autant plus énervant que ce n'est pas compliqué de dire $\mathbf R^2$ , ou «un plan» au lieu de «le plan».

Il y a autre chose; le programme officiel dit :

Il convient de souligner que le choix d’une origine du plan ou de l’espace permet d’identifier points et vecteurs. On é́vitera cependant de faire systé́matiquement cette identification.

Mais pour identifier (ou pas) points et vecteurs, il faudrait d'abord définir ce qu'est un point ! Problème : la définition des espaces affines n'est pas au programme (on définit seulement les sous-espaces affines des espaces vectoriels par exemple). Pour ma part, je ne vois pas quel problème il y a à appeler point tout élément d'un espace vectoriel. La question de l'identification point/vecteur ne se pose alors plus

En résumé :

En faisant de la géométrie affine à moitié (sans définir les espaces affines), il me semble qu'on complique les choses pour les élèves (et pour les enseignants). Il serait plus simple, par exemple, de ne parler que de vecteurs.
En répétant «le plan», «l'espace» aux élèves en cours de math, on leur fait croire que la géométrie en math, c'est comme en physique : il n'y a qu'un plan et qu'un espace (et qu'il existe avant les math. !). Cela va être compliqué ensuite d'expliquer la présentation axiomatique, l'existence de plusieurs modèles pour une théorie, la géométrie non euclidienne, etc.

P.S. j'ai de nombreux collègues (probablement tous en fait) qui ne sont pas du même avis que moi, donc je suis peut-être dans l'erreur…

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Sommes de carrés de matrices

Pierre, le 02-06-2010

J'ai donné un devoir à mes élèves où l'une des questions est :

Démontrer que si deux matrices $A,B\in\mathcal M_n(\mathbf R)$ commutent,
alors $\det(A^2+B^2)\ge 0$ . Donner un contre-exemple lorsque $A$ et $B$
ne commutent pas.

En cherchant un contre-exemple, je me suis posé la question suivante : toute matrice $M\in\mathcal M_2(\mathbf R)$ est-elle somme de deux carrés ? Je pense que c'est une question facile, mais pas triviale, enfin j'espère ! J'ai passé un peu de temps à chercher une preuve jolie au sens où elle est peu calculatoire. En contrepartie, elle n'est pas accessible pour mes élèves par exemple, à cause de l'utilisation d'un gros théorème qu'il verront plus tard. Je joins cette preuve ci-dessous, écrite en blanc sur fond blanc pour vous laisser le plaisir de chercher

Preuve (en blanc sur fond blanc) :
On calcule facilement la différentielle de l'élévation au carré en la matrice unité et on voit ainsi que l'élévation au carré est un difféomorphisme local en la matrice unité. Ainsi ~~le groupe~~ (bug, évidemment, merci à JLT de me l'avoir signalé. La preuve est néanmoins facilement réparable, voir les commentaires) ~~des carrés des matrices inversibles est ouvert~~ dans l'espace des matrices. En particulier toute matrice assez proche de la matrice unité ~~ou de son opposé~~ (qui est un carré car on est en dimension 2, penser aux rotations planes…) est un carré. Il suffit maintenant d'ajouter une constante assez grande à la diagonale de M pour conclure facilement que M est la somme de deux carrés. c.q.f.d.

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Déterminant de la transposition

Pierre, le 29-05-2010

J'avais posé la question suivante à mes élèves :

Calculer le déterminant de la transposition $\mathcal M_n(K)\to \mathcal M_n(K)$ .

Je lis la réponse suivante :

La transposition laisse invariant les points situés sur la diagonale, elle peut s'écrire comme un produit de transpositions, il y en a $\binom{n}{2}$ donc le déterminant cherché est $(-1)^{\binom{n}{2}}$ .

Ce raisonnement n'a aucun sens, mais le résultat est le bon. L'idée de l'élève est-elle bonne ?

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Copies d’élèves : le pire

Pierre, le 02-05-2010

On trouve toutes sortes d'erreurs dans les copies : orthographe, grammaire, calcul, syntaxe, logique, etc. Je ne leur accorde pas la même importance, loin de là. Par exemple, je suis très indulgent concernant les erreurs de calcul (de toute façon, le barème se charge de les sanctionner). En revanche, plusieurs mois ont passé depuis que j'ai enseigné à mes élèves l'usage des symboles de la logique (tels que $\Rightarrow$ , $\Leftrightarrow$ , etc.) et je constate que les erreurs que je digère le moins bien sont les erreurs de logique/syntaxe. J'ai sous les yeux une de ces erreurs, qui me donne la nausée :

Question : Soit $(x_i)_{i\in I}$ une famille de réels, $I$ étant un ensemble fini non vide. Montrer que $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{card}(I)}\sum_{i\in I} x_i \le \max_{i\in I} x_i$ .

Réponse : On a $\displaystyle \forall i\in I, x_i\le \max_i x_i \Leftrightarrow \sum_{i\in I} x_i \le \sum_{i\in I} \max_{i\in I} x_i$ , etc.

Non seulement je mets zéro à la question, mais ça me coupe l'envie de lire le reste de la copie (et de mettre des points au reste de la copie). Comment peut-on écrire le symbole $\Leftrightarrow$ sans se poser la moindre question, comme si c'était une décoration ?

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Erreur d’élève (encore une)

Pierre, le 25-04-2010

Je ne résiste pas à immortaliser celle-là ici :

$\int_{-a}^{-b} f(x)\mathrm dx = - \int_a^b f(x)\mathrm dx$

Exercice pour l'élève coupable (ou pour toute personne intéressée) : quelles sont les fonctions continues $f:\mathbf R\to \mathbf C$ pour lesquelles la relation ci-dessus est vraie pour tous réels $a,b$ ?

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Erreur d’élève

Pierre, le 25-04-2010

Les erreurs d'élèves sont parfois amusantes (j'en ai déjà parlé ici par exemple). Voici la dernière, je viens de la découvrir dans une copie, ce qui me permet d'écrire cet article et de faire une petite pause :

Pour tout $t>0$ , on a $\arctan t>0$ , en effet $\arctan t=\frac{\arcsin t}{\arccos t}$ .

Il y a même deux erreurs !

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Encore une jolie devinette

Pierre, le 01-04-2010

… dans le genre de celles que j'aime bien : énoncé court, solution courte. Merci au collègue qui me l'a communiquée.

Dans une salle, des chaises, en nombre impair, forment un rectangle (plein).
Sur chaque chaise est assise une personne. Montrer qu'il est impossible que les personnes se déplacent simultanément pour une chaise voisine (une chaise étant voisine d'une autre si elle est devant, derrière, à droite, ou à gauche).

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Fonctions symétriques des racines

Pierre, le 28-03-2010

J'apprends à mes élèves que si $x_1,\ldots,x_n$ sont les racines (avec multiplicités) complexes d'un polynôme $P=X^n+a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n\in \mathbf C[X]$ alors on peut exprimer simplement les fonctions symétriques élémentaires $\sigma_1=x_1+\cdots +x_n$ , $\sigma_2=x_1 x_2+\cdots + x_{n-1} x_n$ , …, $\sigma_n=x_1\cdots x_n$ en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_n$ :

$\forall k\in \{1,\ldots,n\}, \sigma_k=(-1)^k a_k$

Je mentionne qu'en fait toute «expression symétrique en les racines» (sans préciser le sens de ceci) peut s'exprimer à l'aide des fonctions symétriques élémentaires et donc à l'aide des coefficients $a_k$ , ce qu'on constate, exercice amusant, sur des exemples tels que $\frac{1}{x_1^2}+\cdots+\frac{1}{x_n^2}$ (en supposans les $x_k$ non nuls).

Mais l'énoncé général correct est le suivant : soit $A$ un anneau commutatif. Le groupe symétrique $\mathfrak S_n$ opère naturellement sur la $A$ -algèbre $A[X_1,\ldots,X_n]$ , et la sous-algèbre des invariants est notée $A[X_1,\ldots,X_n]^{\mathfrak S_n}$ (c'est l'ensemble des polynômes dits symétriques). En termes moins savants, les polynômes symétriques sont ceux qui ne changent pas lorsque l'on permute les indéterminées. On définit des polynômes symétriques particuliers (appelés les polynômes symétriques élémentaires), $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ , par :

$\displaystyle \prod_{k=1}^n (X+X_i)=X^n+\sum_{k=1}^n \sigma_k X^{n-k}$

Et on a le résultat suivant :

$\displaystyle A[X_1,\ldots,X_n]^{\mathfrak S_n}=A[\sigma_1,\ldots,\sigma_n]$

En français : tout polynôme symétrique peut s'écrire comme un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires. Ou encore, les polynômes symétriques élémentaires engendrent l'algèbre des polynômes symétriques. La preuve habituelle fournit en même temps un algorithme et on peut montrer quelques petites choses supplémentaires très intéressantes, comme par exemple le fait que les polynômes symétriques élémentaires sont algébriquement indépendants, autrement dit qu'il y a unicité de l'écriture d'un polynôme symétrique comme un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires. Voici un exemple tout bête, au cas où vous auriez décroché : $X_1^2+\cdots+X_n^2$ est symétrique et on a la décomposition $X_1^2+\cdots+X_n^2=\sigma_1^2-2\sigma_2$ .

Dans le cas où l'anneau $A$ est un corps $K$ , on définit trivialement la notion de fraction rationnelle symétrique; elles forment un sous-corps $M=K(X_1,\ldots,X_n)^{\mathfrak S_n}$ de $L=K(X_1,\ldots,X_n)$ . On déduit probablement sans trop de problème de ce qui précède que $M=K(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ , mais c'est intéressant de le voir aussi comme une application de la théorie de Galois. Voici comment… On va utiliser trois résultats classiques :

Si $N\subset M\subset L$ sont des corps, alors $[L:N]=[L:M][M:N]$ (où $[A:B]$ désigne le degré de l'extension $B\subset A$ , c'est-à-dire la dimension du de $B$ comme espace vectoriel sur $A$ ).
Si $G$ est un groupe fini d'automorphismes d'un corps $K$ alors l'extension $K^G\subset K$ est de degré égal à l'ordre de $G$ .
Si $K\subset L$ est une extension de décomposition d'un polynôme $P\in K[X]$ de degré $n$ , alors $[L:K]\le n!$ .

Notons $N=K(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$ . Alors $N\subset M\subset L$ . D'après (1), on a $[L:N]=[L:M][M:N]$ . Mais d'après (2), $[L:M]=n!$ et d'après (3), $[L:N]\le n!$ . D'où $[M:N]\le 1$ et donc $M=N$ , c.q.f.d.

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