Entiers algébriques et racines de l’unité

Posted on 7 January 2012 by Pierre

Quand j’étais étudiant, il y avait un exercice à la mode (on l’appelait «théorème de Kronecker» mais Google ne confirme pas du tout cette terminologie) : démontrer que si $x\in\mathbf C$ est un entier algébrique dont tous les conjugués sont de module 1 alors $x$ est une racine de l’unité. J’en avais déjà parlé dans ce blog. Un exercice sur les matrices posé sur M@th en Ligne m’a donné l’idée de la preuve suivante (qui est très proche de la preuve que j’avais vue à l’époque) :

On note $P\in\mathbf Z[X]$ le polynôme minimal de $x$ (ce polynôme est donc unitaire, à coefficients entiers, et toutes ses racines sont de module 1). On note $M$ la matrice compagnon de $P$ (de sorte que $P$ est à la fois le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de $M$ ). La suite $(M^n)$ est bornée parce que $M$ est diagonalisable (car ses valeurs propres sont simples) et ses valeurs propres de $M$ sont toutes de module 1, elle a donc une valeur d’adhérence $A$ . Mais comme les $M^n$ sont à coefficients entiers, cela signifie qu’il existe une suite extraite de $(M^n)$ qui est constante égale à $A$ . Il existe donc deux entiers naturels $n<m$ tels que $M^n=M^m$ et, puisque $M$ est inversible, $M^{m-n}=I$ , et donc $x^{m-n}=1$ .

Nouvelle machine

Posted on 28 December 2011 by Pierre

Ce weblog et mes autres pages web sont maintenant hébergés par un petit ordinateur (un «plug computer») qui ressemble à ça :
Dreamplug
Le principal intérêt est sa faible consommation électrique. Accessoirement, il occupe peu de place, fait peu de bruit et chauffe peu. Espérons qu’il vive longtemps

Encore en travaux

Posted on 28 December 2011 by Pierre

Lorsque vous lisez ceci, mon weblog a peut-être une fois de plus des problèmes d’affichage (accents, formules mathématiques, etc). C’est normal, je suis en train de changer de serveur. Désolé

Astroïde et glissade d’une échelle

Posted on 8 December 2011 by Pierre

Je parlais un peu de l’astroïde en cours aujourd’hui :

Et j’ai pensé à la trajectoire d’une personne qui se trouve au milieu d’une échelle lorsque celle-ci glisse le long du mur jusqu’au sol. Mais cette trajectoire n’a en fait rien à voir avec une astroïde, c’est juste un arc de cercle de rayon une demi-échelle !

Non convergence de la suite cos(n)

Posted on 8 December 2011 by Pierre

Chaque année, je donne à mes élèves ce grand classique :

Démontrer que la suite $(\cos(n))$ ne converge pas.

Et chaque année je bricole une solution plus ou moins lourde à base de suites extraites, de relation avec la suite $(\sin(n))$ , etc. Cette année, un élève a fourni une solution dans le même goût mais en plus élégant : on suppose que $(\cos(n))$ converge et on note $\ell$ sa limite. Pour tout entier $n$ , on a $\cos(n-1)+\cos(n+1)=2\cos(1)\cos(n)$ . En passant à la limite, on obtient $2\ell=2\cos(1)\ell$ donc $\ell=0$ . Ensuite, en passant à la limite dans l’identité $\cos(2n)=2\cos^2(n)-1$ , on obtient $0=-1$ , contradiction.

PS. En fait, il est bien connu que la suite $(cos(n))$ est dense dans $[-1;1]$ , et cela se démontre de préférence en voyant $(\cos(n))$ comme la partie réelle de $(e^{in})$ qui est un sympathique «enroulement non périodique de $\mathbf N$ sur le cercle $\mathbf U$ ».

Une interversion de quantificateurs…

Posted on 6 December 2011 by Pierre

… sans le théorème de Baire (a priori). Voici l’énoncé :

Soit $f$ une forme linéaire sur l’espace vectoriel réel $\mathbf R^{\mathbf N}$ telle que, pour tout $u\in\mathbf R^{\mathbf N}$ , il existe $n\in\mathbf N$ tel que $f(u)=u_n$ . Démontrer qu’il existe $n\in\mathbf N$ tel que, pour tout $u\in\mathbf R^{\mathbf N}$ , $f(u)=u_n$ .

Et voici une solution, trouvée ce matin en attendant le train :

Première étape. Supposons un instant que $f$ soit nulle sur le sous-espace vectoriel $\mathbf R^{(\mathbf N)}$ (ensemble des suites nulle à partir d’un certain rang). Alors, conséquence de la linéarité, pour toutes suites $u,v\in\mathbf R^{\mathbf N}$ qui coïcident à partir d’un certain rang, on a $f(u)=f(v)$ . Considérons en particulier la suite $u=(n)_{n\in\mathbf N}$ . Il existe un entier $p\in\mathbf N$ tel que $f(u)=u_p=p$ . Soit $v$ la suite égale partout à $u$ sauf pour l’indice $p$ où l’on pose $v_p=-1$ . Ainsi, aucun terme de $v$ n’est égal à $p$ donc $p\neq f(v)=f(u)=p$ , contradiction.
Seconde étape. D’après la première étape, l’un au moins des vecteurs de la base canonique de $\mathbf R^{(\mathbf N)}$ a une image non nulle par $f$ . On peut supposer, pour simplifier l’écriture, que c’est le cas du premier vecteur de cette base et on le note $e$ . On a nécessairement $f(e)=1$ . Soit $u\in\mathbf R^{\mathbf N}$ . Pour tout $x\in\mathbf R$ , il existe un entier $n_x\in\mathbf N$ tel que $f(u+x e)=u_{n_x}+x e_{n_x}$ , mais on a aussi $f(u+x e)=f(u)+x f(e)=f(u)+x$ . Donc : $\forall x\in\mathbf R, u_{n_x}+x e_{n_x}=f(u)+x$ Puisque $\mathbf R$ n’est pas dénombrable, l’application $x\mapsto n_x$ ne peut pas être injective. Il existe donc deux réels $t\neq s$ tels que $n_t=n_s$ . On déduit des égalités précédentes : $(t-s)e_{n_t}=(t-s)$ , d’où $e_{n_t}=1$ et $n_t=0$ . Finalement : $u_0+t=f(u)+t$ et donc $f(u)=u_0$ . Comme $u$ était quelconque, le résultat est démontré.

Dans le cas particulier où $f$ est continue (pour les topologies naturelles), on m’a signalé que le résultat est une conséquence immédiate du théorème de Baire. Je suis curieux de voir d’autres preuves.

Encore du spam

Posted on 17 November 2011 by Pierre

Je reçois évidemment de nombreux commentaires de type spam sur ce blog, tous en anglais. Le dernier est amusant : la personne me dit qu’elle trouve mon blog très intéressant (elles disent toutes ça) mais qu’elle n’a pas tout compris car elle est … française.

Perle d’élèves (élèves d’un collègue)

Posted on 17 November 2011 by Pierre

À la question : vous étudiez l’algèbre linéaire depuis quatre semaines, vous n’en avez pas marre ? Réponse des élèves :

«Un peu, mais maintenant ça va changer, on commence la réduction des endomorphismes»

Fabriquer une (belle) image avec LaTeX

Posted on 4 November 2011 by Pierre

De temps en temps, mais assez rarement [ref]Assez rarement pour oublier d’une fois sur l’autre comment on fait, d’où cet article de bureautique, destiné à m’éviter de perdre du temps la prochain fois.[/ref], par exemple pour illustrer un cours de math, j’écris (le code d’) un dessin en LaTeX (et Tikz). Je peux alors obtenir facilement mon dessin au format PDF (avec la commande pdflatex) ou au format DVI (avec la commande latex). Mais lorsque je veux obtenir mon dessin au format PNG, format classique pour une image, c’est un peu plus long. Je donne ci-dessous une façon de faire sous Ubuntu 11.10.

Supposons que le code LaTeX du dessin se trouve dans un fichier toto.tex. Voici un exemple de code LaTeX (correspondant au dessin donné plus bas) :

\documentclass{minimal}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\tikzstyle{arc}=[->,>=latex,thick];
\node (1) at (0,0) {$1$};
\node (2) at (-2,1) {$2$};
\node (3) at (-1,1) {$3$};
\node (5) at (0,1) {$5$};
\node (7) at (1,1) {$7$};
\node (11) at (2,1) {$11$};
\node (4) at (-1.5,2) {$4$};
\node (6) at (-0.5,2) {$6$};
\node (9) at (0.5,2) {$9$};
\node (10) at (1.5,2) {$10$};
\node (8) at (-0.5,3) {$8$};
\node (12) at (0.5,3) {$12$};
\draw[arc] (1) to[bend left=20] (2);
\draw[arc] (1) to[bend left=10] (3);
\draw[arc] (1) to[bend left=2] (5);
\draw[arc] (1) to[bend right=10] (7);
\draw[arc] (1) to[bend right=20] (11);
\draw[arc] (2) to[bend left=20] (4);
\draw[arc] (2) to[bend left=10] (6);
\draw[arc] (2) to[bend right=5] (10);
\draw[arc] (3) to[bend right=5] (6);
\draw[arc] (3) to[bend right=10] (9);
\draw[arc] (5) to[bend right=5] (10);
\draw[arc] (4) to[bend left=5] (8);
\draw[arc] (4) to[bend right=5] (12);
\draw[arc] (6) to[bend right=5] (12);
\end{tikzpicture}
\end{document}

On fabrique un fichier PDF avec la commande :

pdflatex toto.tex

On obtient alors un fichier toto.pdf.

On fabrique ensuite un fichier PNG avec la commande (longue et moche) :
```
gs -r300 -dNOPAUSE -sDEVICE=pngalpha -sOutputFile=toto.png toto.pdf
```
Le -r300 concerne la résolution… On obtient un fichier toto.png
qui est presque ce qu’on veut mais il y a un problème : le dessin est perdu au milieu (en fait en haut à gauche) d’une grande page blanche.
Dernière étape : rogner le bords («to trim» en anglais). On utilise le logiciel ImageMagick et sa commande convert :
```
convert toto.png -trim toto-final.png
```
Et voici le résultat (cliquer pour agrandir) :

Une remarque un peu hors sujet pour terminer; sous Ubuntu 11.10, pour ouvrir une image bob.png, il suffit de cliquer dessus, mais si on veut le faire en ligne de commande, c’est moins trivial, et néanmoins très utile (par exemple si, comme toute personne sensée, on a jeté sa souris) :

eog bob.png

Spam

Posted on 3 November 2011 by Pierre

J’ai reçu le mail suivant, dans lequel j’ai placé des commentaires en gras :

Cher (e) membre,

L’équipe Gmail tient à vous informer que cette opération (quelle opération ?) de Maintenance (avec une majuscule) ciblée sur l’ensemble du réseau sera effectuée dans les prochaines semaines. Cette opérations (au pluriel) a pour but d’identifier chacun de nos utilisateurs (que signifie identifier des utilisateurs dont Gmail sait déjà au moins tout ce qu’il a à savoir ?) en vue de déterminer les comptes actifs et inactifs (que signifie inactif pour un compte ?) afin de procéder à la suppression des inactifs, car avec la demande croissante d’utilisateur (au singulier) nous avons le devoir de mieux vous servir (le devoir, rien que ça !), ainsi l’opération aura aussi pour motif de mettre au point des logiciels contre le spam récurrent au niveau de tous vos comptes et renforcer l’ergonomie et la fiabilité au niveau sécuritaire afin que la prochaine fois que vous vous connecterez sur notre système votre navigation soit confortable de ce fait, nous vous invitons à copier le formulaire ci-dessous puis le remplir en mentionnant toutes les informations obligatoires (*) et nous le retourner dans un délai de 48H (c’est quoi comme unité le H ?). Notez que ces informations seront utilisées dans la plus stricte des Règles (encore une majuscule) de confidentialité de l’arrêté n°47 sur la loi du respect de la vie privée du 15 avril 1995 de New York (Que vient faire New-York ici ?), notez qu’aucune violation de ces droits ne sera effectuée sous peine de poursuite judiciaire. Veuillez utiliser le code suivant à chaque fois que vous aurez un problème avec nos systèmes (NXV45687854GM05) ce code sert à titre personnel donc ne peut être utilisé que par vous (ne peut ou ne doit ?). En cas de non-respect du règlement (quel règlement ?) votre compte sera considéré comme inactif (et) vous verrez la clôture systématique et sans préavis de votre compte Mail.
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Compte Gmail ……………………………………………………….
Mot de Passe Gmail ………………………………………………..
Profession …………………………………………………………..
Pays & Ville ……………………………………………………………

Gmail S’excuse (avec une majuscule) de tout désagrément que pourrait engendrer cette Alerte (encore une majuscule) !
L’équipe Gmail !

Plutôt distrayant comme spam (Mais est-ce écrit par un humain ? Si oui de quel âge ? De quelle nationalité ?)