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Même si la partie algèbrique du programme de mathématiques en CPGE est modeste, on peut raisonnablement donner aux élèves l’exercice suivant : démontrer que tout automorphisme de l’algèbre
est de la forme
pour une certaine matrice inversible
. Bien sûr, il faut définir ce qu’est un automorphisme d’algèbre car la structure d’algèbre n’est pas au programme. Le titre de cet article vient de ce que le théorème de Skolem-Noether dit que tout automorphisme d’une algèbre centrale simple est intérieur, c’est-à-dire de la forme
et que l’algèbre
est centrale simple.
J’ai donc donné un devoir à mes élèves sur cette question, mais avec plein de questions intermédiaires (l’énoncé fait près de deux pages !). En fait, la preuve peut être courte. D’abord, on peut formuler l’énoncé ainsi :
Théorème. Soit
un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif
. Alors tout automorphisme de la
-algèbre
est intérieur.
Rappels. Notons
la dimension de
. Soit
une base de
.
Pour tous indices
et
, notons
l’endomorphisme de
qui envoie tous les
sur
sauf
qu’il envoie sur
:
. La famille
est une base de
et elle a la propriété suivante :
Réciproquement, et c’est ce qui sera très utile par la suite, si
est une famille d’endomorphismes de
qui est une base de
(ajout suggéré par un commentaire) et vérifie la propriété
, alors elle provient comme ci-dessus d’une base de
. Cela, je le démontrerai dans un prochain article si quelqu’un ne le fait pas avant dans les commentaires.
Démonstration du théorème. Soit
un automorphisme de l’algèbre
. On choisit une base
de
(ça existe) et on note
la base de
qui lui est associée comme dans les rappels. Posons, pour tous indices
et
,
. La famille
possède la propriété
et
est un morphisme d’algèbre donc la famille
possède la propriété
, et donc elle provient d’une certaine base
. Soit
l’automorphisme de
qui envoie
sur
pour chaque indice
. Il est évident (j’omets le calcul car il ne rend pas la preuve plus claire) que
. Par linéarité,
pour tout
. Donc
est un automorphisme intérieur.
On peut ensuite essayer de démontrer le résultat suivant (qui est aussi une conséquence immédiate du théorème de Skolem-Noether puisque l’algèbre des quaternions de Hamilton est centrale simple) :
Corollaire. Tout automorphisme de l’algèbre
des quaternions de Hamilton est intérieur.
Rappels.
est (par exemple) l’ensemble des matrices
telles que
, où
désigne la commatrice de
. L’ensemble
est un sous-
-espace vectoriel de
qui admet pour base la famille
où
,
,
,
. Et
est une sous-
-algèbre de
qui est un corps (non commutatif). La famille
est également libre sur
. Par conséquent, tout automorphisme
de l’algèbre
se prolonge (de façon unique) en un endomorphisme
du
-espace vectoriel
qui est un automorphisme de
-algèbre (pour démontrer que
pour toutes matrices
et
, on peut supposer que
et
sont dans la base
, auquel cas c’est évident par hypothèse sur
).
Démonstration. Soit
un automorphisme de
-algèbre. Notons
l’automorphisme de la
-algèbre
qui prolonge
. D’après le théorème précédent,
est intérieur : il existe une matrice
telle que
pour toute matrice
. Il suffit de montrer qu’on peut trouver un tel
qui est un quaternion ! Pour l’instant, choisisson un tel
(non nécessairement quaternion). Soit
. Alors
donc
. Et comme
, on obtient finalement
. Cette dernière relation est vraie en particulier lorsque
et donc, par
-linéarité, les automorphismes intérieurs
et
coïcident sur
). On sait qu’alors il existe
tel que
. En prenant le déterminant, on obtient
donc
. Choisissons une racine carrée
de
et posons
. On a
. Donc
est un quaternion, et on a bien
pour tout quaternion
.
Je ne connais pas la preuve du théorème de Skolem-Noether, mais on pourrait essayer de faire comme ci-dessus : étant donné un automorphisme
d’une algèbre centrale simple
sur un corps commutatif
, on pourrait étendre les scalaires à une extension
de
pour obtenir un automorphisme de
-algèbre
. On sait que si on prend
assez gros,
est isomorphe à une algèbre de matrices et donc
est intérieur. Ensuite, le problème c’est qu’il faut redescendre de
à
…