Le filtrage des sites web au lycée

Publié le 10 mai 2012 par Pierre

Dans les lycées français, internet est ~~censuré~~ filtré afin de «protéger les élèves». Cette censure n’est pas toujours pertinente. Par exemple, si je veux consulter ce blog mathématique (pour progresser en géométrie !), je suis bloqué par un :

ATTENTION

Pas d’acces web autorise !

ce site est filtré par des règles propres à l’établissement. (filtrage UT1_Blog ) si toutefois l’accès vous est nécessaire, veuillez vous adresser à votre administrateur réseau

On voit qu’il a été détecté que je voulais me rendre sur un blog («UT1_Blog»). Si j’essaye le blog de Terence Tao (médaillé Field, l’équivalent du prix Nobel pour les mathématiques), je suis bloqué également. En revanche, je n’ai aucun problème pour accéder à public.fr, le site d’un magazine people (je ne crois pas qu’on trouve sur ce site quoi que ce soit en rapport avec ce qu’on fait au lycée) ! Mon blog passe⁽¹⁾ également à travers le filtrage, et je ne sais pas si je dois bien le prendre…

(1) En fait, mon blog ne passait qu’à moitié à travers le filtrage : l’affichage des formules mathématiques sur ce blog étant confié à un «plugin» (wp-latex) qui fabrique des petites images en appelant un logiciel (LaTeX) distant, hébergé chez wordpress.com, site qui n’est bien entendu pas autorisé, celles-ci ne s’affichaient pas. J’ai réglé le problème en installant LaTeX sur mon serveur.

Petit théorème de Skolem-Noether

Publié le 9 mai 2012 par Pierre

Ce blog est de retour après une panne (le disque dur du serveur qui hébergeait ce blog passant en mode «read only» sans prévenir, l’hébergement du site web restait possible mais les mises à jour compromises !).

Même si la partie algèbrique du programme de mathématiques en CPGE est modeste, on peut raisonnablement donner aux élèves l’exercice suivant : démontrer que tout automorphisme de l’algèbre $\mathcal M_n(\mathbf C)$ est de la forme $A\mapsto P^{-1}AP$ pour une certaine matrice inversible $P$ . Bien sûr, il faut définir ce qu’est un automorphisme d’algèbre car la structure d’algèbre n’est pas au programme. Le titre de cet article vient de ce que le théorème de Skolem-Noether dit que tout automorphisme d’une algèbre centrale simple est intérieur, c’est-à-dire de la forme $x\mapsto p^{-1}xp$ et que l’algèbre $\mathcal M_n(\mathbf C)$ est centrale simple.

J’ai donc donné un devoir à mes élèves sur cette question, mais avec plein de questions intermédiaires (l’énoncé fait près de deux pages !). En fait, la preuve peut être courte. D’abord, on peut formuler l’énoncé ainsi :

Théorème. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif $K$ . Alors tout automorphisme de la $K$ -algèbre $\mathcal L(E)$ est intérieur.

Rappels. Notons $n$ la dimension de $E$ . Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$ .
Pour tous indices $i$ et $j$ , notons $f_{i,j}$ l’endomorphisme de $E$ qui envoie tous les $e_k$ sur $0$ sauf $e_j$ qu’il envoie sur $e_i$ : $\forall k,\; f_{i,j}(e_k)=\delta_{j,k} e_i$ . La famille $(f_{i,j})$ est une base de $\mathcal L(E)$ et elle a la propriété suivante :

$\forall i,j,k,l,\quad f_{i,j}\circ f_{k,l}=\delta_{j,k}f_{i,l}\qquad (1)$

Réciproquement, et c’est ce qui sera très utile par la suite, si $(f_{i,j})$ est une famille d’endomorphismes de $E$ qui est une base de $\mathcal L(E)$ (ajout suggéré par un commentaire) et vérifie la propriété $(1)$ , alors elle provient comme ci-dessus d’une base de $E$ . Cela, je le démontrerai dans un prochain article si quelqu’un ne le fait pas avant dans les commentaires.

Démonstration du théorème. Soit $\phi$ un automorphisme de l’algèbre $\mathcal L(E)$ . On choisit une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ (ça existe) et on note $(f_{i,j})$ la base de $\mathcal L(E)$ qui lui est associée comme dans les rappels. Posons, pour tous indices $i$ et $j$ , $f'_{i,j}:=\phi(f_{i,j})$ . La famille $(f_{i,j})$ possède la propriété $(1)$ et $\phi$ est un morphisme d’algèbre donc la famille $(f'_{i,j})$ possède la propriété $(1)$ , et donc elle provient d’une certaine base $(e'_1,\dots,e'_n)$ . Soit $f$ l’automorphisme de $E$ qui envoie $e'_k$ sur $e_k$ pour chaque indice $k$ . Il est évident (j’omets le calcul car il ne rend pas la preuve plus claire) que $f^{-1}\circ f_{i,j}\circ f=f'_{i,j}=\phi(f_{i,j})$ . Par linéarité, $f^{-1}\circ g\circ f=\phi(g)$ pour tout $g\in\mathcal L(E)$ . Donc $\phi$ est un automorphisme intérieur.

On peut ensuite essayer de démontrer le résultat suivant (qui est aussi une conséquence immédiate du théorème de Skolem-Noether puisque l’algèbre des quaternions de Hamilton est centrale simple) :

Corollaire. Tout automorphisme de l’algèbre $\mathbf H$ des quaternions de Hamilton est intérieur.

Rappels. $\mathbf H$ est (par exemple) l’ensemble des matrices $A\in\mathcal M_2(\mathbf C)$ telles que $c(A)=\bar A$ , où $c(A)$ désigne la commatrice de $A$ . L’ensemble $\mathbf H$ est un sous- $\mathbf R$ -espace vectoriel de $\mathcal M_2(\mathbf C)$ qui admet pour base la famille $(E,I,J,K)$ où $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $J = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ , $K = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ . Et $\mathbf H$ est une sous- $\mathbf R$ -algèbre de $\mathcal M_2(\mathbf C)$ qui est un corps (non commutatif). La famille $(E,I,J,K)$ est également libre sur $\mathbf C$ . Par conséquent, tout automorphisme $\phi$ de l’algèbre $\mathbf H$ se prolonge (de façon unique) en un endomorphisme $\phi'$ du $\mathbf C$ -espace vectoriel $\mathcal M_2(\mathbf C)$ qui est un automorphisme de $\mathbf C$ -algèbre (pour démontrer que $\phi'(AB)=\phi'(A)\phi'(B)$ pour toutes matrices $A$ et $B$ , on peut supposer que $A$ et $B$ sont dans la base $(E,I,J,K)$ , auquel cas c’est évident par hypothèse sur $\phi$ ).

Démonstration. Soit $\phi:\mathbf H\to\mathbf H$ un automorphisme de $\mathbf R$ -algèbre. Notons $\phi'$ l’automorphisme de la $\mathbf C$ -algèbre $\mathcal M_2(\mathbf C)$ qui prolonge $\phi$ . D’après le théorème précédent, $\phi'$ est intérieur : il existe une matrice $P\in\mathrm{GL}_2(\mathbf C)$ telle que $\phi'(A)=P^{-1}AP$ pour toute matrice $A\in\mathcal M_2(\mathbf C)$ . Il suffit de montrer qu’on peut trouver un tel $P$ qui est un quaternion ! Pour l’instant, choisisson un tel $P$ (non nécessairement quaternion). Soit $A\in\mathbf H$ . Alors $\phi'(A)\in\mathbf H$ donc $c(P^{-1}AP)=\overline{P^{-1}AP}$ . Et comme $c(A)=\bar A$ , on obtient finalement $c(P)^{-1}\bar A c(P)={\bar P}^{-1}\bar A\bar P$ . Cette dernière relation est vraie en particulier lorsque $A\in \{E,I,J,K\}$ et donc, par $\mathbf C$ -linéarité, les automorphismes intérieurs $A\mapsto c(P)^{-1}Ac(P)$ et $A\mapsto {\bar P}^{-1}A\bar P$ coïcident sur $\mathcal M_2(\mathbf C$ ). On sait qu’alors il existe $\lambda\in\mathbf C^*$ tel que $c(P)=\lambda\bar P$ . En prenant le déterminant, on obtient $\det(P)=\lambda^2\overline{\det(P)}$ donc $|\lambda|=1$ . Choisissons une racine carrée $\mu$ de $\lambda^{-1}$ et posons $P':=\mu P$ . On a $c(P')=\mu c(P)=\mu \lambda \bar{P}=\mu^2 \lambda \overline{P'}=\overline{P'}$ . Donc $P'$ est un quaternion, et on a bien $\phi(A)=P'^{-1}AP'$ pour tout quaternion $A$ .

Je ne connais pas la preuve du théorème de Skolem-Noether, mais on pourrait essayer de faire comme ci-dessus : étant donné un automorphisme $\phi:E\to E$ d’une algèbre centrale simple $E$ sur un corps commutatif $K$ , on pourrait étendre les scalaires à une extension $L$ de $K$ pour obtenir un automorphisme de $L$ -algèbre $\phi_{(L)}:E_{(L)}\to E_{(L)}$ . On sait que si on prend $L$ assez gros, $E_{(L)}$ est isomorphe à une algèbre de matrices et donc $\phi_{(L)}$ est intérieur. Ensuite, le problème c’est qu’il faut redescendre de $\phi_{(L)}$ à $\phi$ …

Suites de Bruijn

Publié le 21 avril 2012 par Pierre

suite de Bruijn pour les mots de longueur 5 sur l'alphabet {0,1}
Lire la suite →

Bureautique

Publié le 9 avril 2012 par Pierre

Le language Tikz, qui prolonge LaTeX et qui permet de dessiner, est amusant à utiliser (mais nécessite un apprentissage, voyez l’épaisseur de la documention). Maintenant que je commence à le connaître, je l’utilise de plus en plus. On trouve des exemples intéressants sur le net, mais voici comment illustrer les intégrales de Wallis en quelques lignes (c’est tout l’intérêt) :

\documentclass{minimal}
\usepackage{tikz}
\newcommand{\p}{1.5708}
\newcommand{\legende}{$\displaystyle\int_0^1 \left(\cos t\right)^n\mathrm dt$}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=5]
    \foreach \k in {1,3,...,30}
    \fill[blue,opacity=0.15] (0,0)--plot[domain=0:\p,smooth] (\x,{cos(\x r)^\k})--(\p,0)--cycle;
    \draw (0,1)--(0,0)--(\p,0);
    \node[left] at (0,1) {$1$};
    \node[below left] at (0,0) {$0$};
    \node[below] at (\p,0) {$\frac{\pi}{2}$};
    \node[fill=white,thick,rounded corners,fill opacity=0.5,text opacity=1,draw] at (\p/2,1/2) {\legende};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Et le résultat (cliquer pour agrandir) :

Modules et anneaux semi-simples

Publié le 8 avril 2012 par Pierre

Répondre

Dans ma bibliothèque mathématique, j’ai pas mal de «Bourbaki». Mais certains ~~manquent~~ manquaient, en particulier le chapitre 8 d’algèbre sur les modules et anneaux semi-simples (dont j’ai déjà parlé). Il est enfin disponible et il a, semble-t-il, été bien épaissi. Pour faire baver les algébristes, voici sa table des matières.

Un blog avec des distributions de dedans

Publié le 8 avril 2012 par Pierre

Philippe Roux, qui intervient parfois ici, a commencé un blog dans lequel il explique les distributions (mathématiques), et d’autres choses… Les distributions sont des objets qui généralisent les fonctions numériques usuelles. Par exemple, la fameuse «fonction de Dirac» que les étudiants rencontrent assez tôt, probablement en physique, sans être nécessairement convaincus par cette «fonction» qui est nulle partout en dehors de 0 mais dont l’intégrale vaut 1, n’est évidemment pas une fonction, mais une distribution.

Une formule avec des dérivées successives

Publié le 5 avril 2012 par Pierre

Il s’agit de démontrer que :
$\boxed{2^{2n+1}\left(x^{n+\frac{1}{2}}\left(e^{\sqrt x}\right)^{(n+1)}\right)^{(n)}=e^{\sqrt x}}$
En fait, j’ai une solution mais je suis intéressé par une preuve compréhensible par mes élèves…

Adjectifs possessifs

Publié le 25 mars 2012 par Pierre

Mon petit garçon montre mon nez et dit «mon nez» puis montre son nez et dit «ton nez». C’est embêtant à corriger

Déclaration incroyable

Publié le 23 mars 2012 par Pierre

Très peu de temps après les fusillades tragiques (le corps du terroriste devait être encore chaud), le président de la république a dit :

«Toute personne qui consultera de manière habituelle des sites Internet qui font l’apologie du terrorisme ou qui appellent à la haine sera punie pénalement.»

Cette déclaration me semble tellement incroyable, en France, que je ne sais pas bien quoi dire, je ne sais pas par où commencer. Aussi je vais dire ce qui me semble le plus important : je veux pouvoir consulter des sites internet, qui font l’apologie du terrorisme ou non, librement. Bref, je veux être libre au sens où je veux pouvoir lire les livres que je veux lire et consulter les sites web que je veux consulter. Cette définition (d’une partie) de la liberté ne me semble pas aberrante. Suis-je normal ?

Comment exprimer cos(2π/11) avec des racines

Publié le 14 mars 2012 par Pierre

Sur ce blog, on trouve une expression de cos(2π/11) à l’aide de racines. La méthode suivie pour obtenir cette formule n’est pas détaillée. J’ai fait l’exercice, c’est l’occasion de réviser un peu de théorie de Galois, et plus précisément de faire des calculs dans des extensions cycliques. Je donne ci-dessous la recette sans expliquer ni justifier pourquoi ça marche.

On notera $u_n=e^{\frac{2i\pi}{n}}$ . D’abord : $\cos(2\pi/11)=(u_{11}+u_{11}^{-1})/2$ , il suffit donc d’obtenir une expression de $u_{11}$ (lire les commentaires pour savoir pourquoi l’expression $u_{11}=\sqrt[11]{1}$ n’est pas acceptable). Notons $K=\mathbf Q(u_{10})=\mathbf Q(u_5)$ , c’est un sous-corps de $\mathbf C$ et un $\mathbf Q$ -espace vectoriel de dimension 4 dont on sait exprimer chaque élément avec des racines. Notons $L=K(u_{11})=\mathbf Q(u_{55})$ , c’est un $K$ -espace vectoriel de dimension 10 (et un $\mathbf Q$ -espace vectoriel de dimension 40) et il admet pour $K$ -base $\mathcal B=(1,u_{11},u_{11}^2,\dots,u_{11}^9)$ . Notons $f:L\to L$ l’unique $K$ -automorphisme tel que $f(u_{11})=u_{11}^2$ (cette application est un générateur du groupe de Galois de $L/K$ , mais j’ai dit que je ne donnais pas d’explication, pour faire court). L’application $f$ est en particulier $K$ -linéaire, on peut écrire sa matrice $M$ dans la base $\mathcal B$ :
$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Le polynôme caractéristique de $M$ est $X^{10}-1$ , en particulier $u_{10}$ est une valeur propre de $M$ , et elle appartient bien au corps de base $K$ (c’est pour cela qu’on avait introduit $K$ plutôt que de rester sur $\mathbf Q$ ). On peut donc trouver (explicitement) un vecteur propre correspondant, et donc un élément $x\in L^*$ tel que $f(x)=u_{10}x$ . Ce vecteur propre $x$ , que chacun peut calculer s’il est très patient ou s’il dispose d’un bon logiciel, est très intéressant : $f(x^{10})=f(x)^{10}=(u_{10}x)^{10}=x^{10}$ , ainsi $x^{10}$ est laissé fixe par $f$ (et donc par tout le groupe de Galois de $L/K$ ) donc $x^{10}\in K$ , et donc on peut exprimer $x$ avec des racines. De plus, la famille $\mathcal B'=(1,x,\dots,x^9)$ est une $K$ -base de $L$ . Puisque qu’on dispose des coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal B$ et qu’on peut en déduire les coordonnées des puissances de $x$ , on peut calculer la matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$ . Il suffit d’inverser cette matrice pour récupérer en particulier les coordonnées de $u$ dans la base $\mathcal B'$ , et voilà : on a une expression de $u$ avec des racines.

On voit bien la lourdeur des calculs à effectuer et je veux bien croire qu’on peut faire bien mieux pour exprimer $u$ , mais ce que j’aime bien dans les calculs ci-dessus, c’est que c’est simplement de l’algèbre linéaire !

PS : ce qui a été fait pour $\cos(2\pi/11)$ peut se faire pour $\cos(2\pi/n)$ où $n\ge 1$ est un entier quelconque.