Weblog de Pierre Bernard

Pierre, le 09-03-2010

En mathématiques, construire des ensembles plus gros (et plus «abstraits») que ceux qu'on étudie permet parfois de résoudre certains problèmes, ou en tout cas de mieux les comprendre, ou en tout cas de les formuler de façon plus sympathique. En disant ensemble plus gros, je pense aux complétés, aux clôtures algébriques, aux corps des fractions, etc.
Je suis tombé récemment sur un exemple particulièrement élémentaire qui illustre l'intérêt du corps des fractions. Je l'écris dans le cas particulier de $\mathbf Z$ et de son corps des fractions $\mathbf Q$ mais tout s'adapterait sur un anneau intègre quelconque. Il s'agit de démontrer que :

Pour tous entiers non nuls $a,b$ , $\mathrm{pgcd}(a,b)\mathrm{ppcm}(a,b)=\pm ab$ .

On commence par étendre la relation de divisibilité (définie classiquement sur $\mathbf Z$ ) à $\mathbf Q$ en posant, pour tous rationnels $x,y$ , $x|y$ s'il existe $k\in\mathbf Z$ tel que $y=kx$ . On étend de même les notions de PGCD et de PPCM (on appelle PGCD de deux rationnel
$x,y$ tout rationnel qui divise $x$ et $y$ et qui est divisible par tout rationnel qui divise $x$ et $y$ , définition analogue pour les PPCM). On a immédiatement les résultats suivants :

$x\in\mathbf Q^*$ divise $y\in\mathbf Q^*$ si et seulement si $\frac{1}{y}$ divise $\frac{1}{x}$ .
$d\in\mathbf Q^*$ est un PGCD (resp. PPCM) de $x,y\in\mathbf Q^*$ si et seulement si $\frac{1}{d}$ est un PPCM (resp. PGCD) de $\frac{1}{x},\frac{1}{y}$ .
Soit $t\in\mathbf Q^*$ . Alors : $d\in\mathbf Q^*$ est un PGCD (resp. PPCM) de $x,y\in\mathbf Q^*$ si et seulement si $td$ est un PGCD (resp. PPCM) de $tx,ty$ .

Maintenant, soient $a,b$ deux entiers non nuls et soit $d$ un PGCD de $a$ et $b$ . Alors, d'après le deuxième point, $\frac{1}{d}$ est un PPCM de $\frac{1}{a},\frac{1}{b}$ . Donc, d'après le troisième point, $\frac{ab}{d}$ est un PPCM de $\frac{ab}{a},\frac{ab}{b}$ , cqfd.

Cela me semble plus limpide que la plupart des preuves que j'ai lues (et que celle que j'ai infligée à mes élèves) mais il faut étendre la relation de divisibilité à $\mathbf Q$ .

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Fonctions concaves

Pierre, le 07-03-2010

Je me pose la petite question suivante : dans un ensemble ordonné $(E,\le)$ , une partie $A$ est dite cofinale si $\forall x\in E,\exists y\in A, x\le y$ . On considère l'ensemble $E$ des fonctions continues $f:[0,1]\to \mathbf R$ telles que $f(0)=f(1)=0$ , ordonné par la relation d'ordre «naturelle». L'ensemble des fonctions concaves appartenant à $E$ est-il cofinal ?

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Un blog de géométrie

Pierre, le 24-02-2010

Le professeur de mathématiques Pierre Lecomte a ouvert récemment un blog. Cela se lit tout seul (pour un matheux disons), et on apprend plein de belle géométrie. Contrairement à ce que l'on lit dans certains journaux ou à ce que l'on entend dans certaines émissions télévisées, internet n'est pas qu'un ramassis de sites dangereux et/ou anonymes et/ou écrits par des amateurs

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Encore des fonctions périodiques

Pierre, le 05-02-2010

En commentant un article précédent, JLT avait posé la question suivante :

Si $f$ , $g$ , et $f+g$ sont périodiques, ont-elles une période commune ?

Je crois que la réponse est : en général non (au sens : il existe au moins un contre-exemple). Je propose le contre-exemple pas explicite du tout suivant : il existe deux sous- $\mathbf Q$ -espaces vectoriels, non nuls, d'intersection nulle, $F$ et $G$ de $\mathbf R$ admettant un supplémentaire commun non nul $S$ . On définit alors $f,g:\mathbf R\to \mathbf R$ , en posant $f=0\oplus \mathrm{id}_S$ dans la somme directe $\mathbf R=F\oplus S$ , et $g=0\oplus (-\mathrm{id}_S)$ dans la somme directe $\mathbf R=G\oplus S$ . Le groupe des périodes $f$ (resp. $g$ ) est $\mathrm{ker}(f)=F$ (resp. $\mathrm{ker}(g)=G$ ). Le groupe des périodes de $f+g$ est $\mathrm{ker}(f+g)=S$ (sauf erreur). Donc $f,g,f+g$ sont toutes les trois périodiques mais 0 est leur seule période commune.

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Algèbre linéaire, «le Grifone»

Pierre, le 05-02-2010

Quand j'ai commencé à apprendre l'algèbre linéaire, un ou deux ans après le bac, certains professeurs conseillaient «le Grifone» (en fait Algèbre Linéaire de Joseph Grifone). Je m'y suis replongé cette semaine en préparant mon cours. Ce livre énonce et démontre sobrement les résultats élémentaires fondamentaux (concernant les espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif et les applications linéaires entre iceux), et c'est bien ! Pas de couleur ni de fioriture (en disant ça, je pense aux horribles manuels scolaires, débordants de jaune et de rose, très bien décrits chez Mathoman). Mais voici ce que je n'ai pas aimé, à la relecture :

Toutes les hypothèses du genre $E\neq \{0\}$ , pour soi-disant assurer l'existence d'une base.
Comme si les espaces vectoriels nuls n'avaient pas de base ! Le zéro et l'ensemble vide sont justement là, et depuis déjà longtemps, pour rendre les énoncés plus jolis. Par exemple, cela fait déjà longtemps qu'on ne dit plus «tout ensemble fini non vide à $n$ éléments possède $2^n-1$ sous-ensembles» mais «tout ensemble fini à $n$ éléments possède $2^n$ sous-ensembles».
La définition des «espaces de dimension finie» avant la définition de la dimension. Ce n'est pas très grave, et c'est conforme à mon programme officiel. Mais c'est quand même moche de parler d'espaces de dimension finie avant d'avoir défini la dimension.
Une véritable erreur (qui a peut-être été corrigée dans les éditions suivantes) : Grifone affirme sans se poser de question qu'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie. Or ce résultat n'est ni plus ni moins trivial que la plupart des autres résultats du livre.

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Dérivée et périodicité

Pierre, le 01-02-2010

Alors que je posais l'exercice plutôt trivial suivant : Démontrer que la dérivée d'une fonction dérivable périodique est périodique, un élève m'a posé la question plus amusante :

Est-ce que la dérivée peut avoir une période (strictement) plus petite que la fonction ?

Dit autrement : une fonction périodique dérivable a-t-elle le même groupe de périodes que sa dérivée ? Ce n'est pas très difficile et cela me fait un très bon exercice à ajouter dans mon catalogue.

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Un gentil monstre

Pierre, le 22-01-2010

J'ai donné un devoir sur la continuité à mes élèves avec une question plus difficile :

Démontrer qu'il existe au moins une fonction monstrueuse de $\mathbf R$ dans $\mathbf R$ (une fonction étant dite monstrueuse si son graphe est dense dans le plan).

Si l'on accepte l'existence d'une forme $\mathbf Q$ -linéaire non nulle sur $\mathbf R$ (par exemple si l'on accepte l'existence d'une $\mathbf Q$ -base de $\mathbf R$ ), alors c'est gagné : une telle forme est monstrueuse, cela résulte facilement de ce qui est démontré dans ce même devoir. Mais on se doute bien qu'il existe une construction élémentaire. En voici une :

Dans un premier temps, on va définir une fonction $f:\mathbf R\to ]0,1[$ monstrueuse mais à valeur dans $]0,1[$ . Pour tout réel $x$ , notons $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ la partie fractionnaire de $x$ (c'est «ce qu'il y a après la virgule»). Évidemment, $x\mapsto \{x\}$ est une fonction 1-périodique affine par morceaux à valeurs dans $[0,1[$ . Pour tout $n\in\mathbf N$ , on définit une fonction $g_n:\mathbf R\to [0,1[$ en posant $g_n(x)=\{2^n x\}$ . Il est facile de voir à quoi ressemble $g_n$ : elle est affine par morceaux, $\frac{1}{2^n}$ -périodique, et à valeurs dans $[0,1[$ . On voit en particulier que, plus $n$ est grand, plus $g_n$ est «monstrueuse» (dans un sens non précisé). L'idée pour définir notre fonction $f$ est d'utiliser les fonctions $g_n$ , et de les utiliser d'autant plus que $n$ est grand. Voilà comment : pour tout $x\in\mathbf R$ de la forme $x=\frac{k}{4^n}$ où $k$ est un entier impair (notons que $k$ et $n$ sont alors parfaitement déterminés par $x$ ), on pose $f(x)=g_n(x)=\left\{\frac{k}{2^n}\right\}\in ]0,1[$ . On prolonge $f$ à $\mathbf R$ n'importe comment, par exemple en posant $f(x)=0$ lorsque $x$ n'est pas de la forme décrite ci-dessus. Vérifions que $f$ est monstrueuse. Soit $]a,b[\times ]c,d[ \subset \mathbf R\times ]0,1[$ un pavé ouvert non vide et montrons que ce pavé contient au moins un point du graphe de $f$ . Il existe un entier $n\in\mathbf N^*$ tel que $\frac{1}{2^n}$ soit strictement inférieur à la longueur des intervalles $]a,b[$ et $]c,d[$ . Donc il existe un entier $k\in\{1,2,\ldots,2^n-1\}$ tel que $\frac{k}{2^n}\in ]c,d[$ . On a donc $f\left(\frac{k}{4^n}\right)=\left\{\frac{k}{2^n}\right\}=\frac{k}{2^n}\in ]c,d[$ . Ensuite, il existe $l\in\mathbf Z$ tel que $x:=\frac{k}{4^n}+\frac{l}{2^n}\in ]a,b[$ . Et on a $f(x)=f\left(\frac{k+2^n l }{4^n}\right)=g_n\left(\frac{k+2^n}{4^n}\right)$ car $k+2^n l$ est impair.
Donc $f(x)=\left\{\frac{k+2^n l}{2^n}\right\}=\left\{\frac{k}{2^n}+l\right\}=\left\{\frac{k}{2^n}\right\} \in ]c,d[$ , c.q.f.d.
Maintenant qu'on a une fonction $f:\mathbf R\to ]0,1[$ monstrueuse, la fonction $g:=\pi\left(f-\frac{1}{2}\right)$
est évidemment monstrueuse de $\mathbf R\to \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ , puis la fonction $h:=\tan\circ g$ est monstrueuse de $\mathbf R$ dans $\mathbf R$ .

En résumé, si on note $v_2(x)$ la valuation diadique du rationnel $x$ (c.a.d. $v_2(x)=k$ si $x=2^k\frac{u}{v}$ avec $k\in\mathbf Z$ , et $u,v$ entiers impairs) et $v_2(x)=0$ (par exemple) si $x$ n'est pas rationnel, alors la fonction $h:\mathbf R\to\mathbf R$ :

$h:x\mapsto \tan\left(\pi\left(\left\{{\sqrt 2}^{v_2(x)} x\right\}-\frac{1}{2}\right)\right)$

est monstrueuse (c.a.d. a son graphe dense dans le plan).

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Bonne résolution

Pierre, le 03-01-2010

Pour la nouvelle année, je ne vais pas prendre de «bonne résolution» particulière, mais je conseille à certains de mes élèves d'en prendre une, modeste : apprendre à conjuguer correctement les verbes du premier groupe au passé composé, en particulier ne plus écrire «on a montrer que …» dans leurs copies. Les erreurs mathématiques, en revanche, ne me gênent pas, du moment qu'elles sont bien rédigées, originales et amusantes (exemple tout frais : «comme (a_n) et (b_n) n'ont pas de limite, (a_n/b_n) n'en a pas non plus». Je trouve ça amusant, mais je suis bon public en humour mathématique).

Pour finir, je souhaite une bonne année 2010 à tout lecteur de cette page web.

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Comment s’habiller dans la rue

Pierre, le 22-12-2009

Je lis sur lemonde.fr que :

Jean-François Copé, a annoncé mardi 22 décembre le dépôt par son groupe d'une proposition de loi et d'une résolution visant à interdire d'avoir le visage totalement couvert dans l'espace public

Pourquoi veulent-ils que la France rejoigne les états qui disent à leurs citoyens ce qu'il faut porter ou ne pas porter dans la rue

Catégorie(s) : Grognements

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Cadre à suspendre au mur (devinette)

Pierre, le 22-12-2009

Si vous avez un cadre (avec une ficelle qui relie deux de ses coins) et deux clous plantés dans un mur, comment faire pour suspendre le cadre de sorte que, quelque soit le clou qu'on enlève, le cadre tombe ? Généraliser à trois clous, etc.

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