Voilà, ce matin c'était le dernier cours de math de ma quatrième et dernière année au lycée Joachim du Bellay en prépa ECE. Cet été, je me prépare à l'année prochaine, qui sera un peu plus mathématique… Bon vent à mes élèves; il m'est arrivé d'en «détester» à certains moments mais ils me manquent déjà

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Dans un commentaire, Math O'Man demandait comment on démontre que n'admet pas de partition non triviale en segments avec . Voici une solution que j'espère correcte.

Soit une telle partition. L'ensemble est évidemment (au plus) dénombrable. On munit de la topologie quotient. Grâce à la surjection continue , on peut affirmer que est quasi-compact (i.e. «compact mais peut-être pas séparé a priori»). En fait est séparé car il est ordonnable au sens où il existe une relation d'ordre total (je vous laisse deviner laquelle !) sur dont la topologie associée coïncide (je devrais écrire la vérification…) en fait elle ne coïncide pas, cette preuve est corrigée dans les commentaires avec la topologie de . J'utilise ici le fait que la topologie associée à une relation d'ordre total (celle qui est engendrée par les intervalles ouverts) est toujours séparée. Ainsi est compact, donc localement compact, et donc de Baire. De plus est connexe, grâce à la surjection . Or on a le lemme évident :

Lemme. Un espace de Baire séparé, dénombrable et connexe a au plus un point.

En effet, chaque singleton est fermé (car l'espace est séparé). Si l'espace a au moins deux points, chaque singleton est d'intérieur vide (sinon est un ouvert fermé non trivial ce qui contredit la connexité), donc l'espace est une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide, c'est absurde puisqu'il est de Baire.

Conclusion est un singleton, la partition est triviale, c.q.f.d. Il y a sûrement une preuve dans un jargon moins pompeux, avec seulement des suites et de la compacité par exemple… Généralisation : on peut montrer que le plan n'est pas une réunion de disques fermés disjoints de rayons strictement positifs. Mais il y a un énoncé beaucoup plus général :

Théorème. Aucun espace localement compact, connexe et localement connexe, n'est la réunion disjointe d'une suite finie ou infinie d'au moins deux fermés non vides.

C'est un exercice que l'on trouve dans le traité de topologie de Bourbaki au sujet des espaces topologiques dits totalement inépuisables ! Donc, si l'on vous demande de paver un carré (plein) de façon non triviale avec des rectangles, des triangles, des cercles disques, etc., tous pleins et fermés, vous savez que ce n'est pas possible car le carré est localement compact, connexe et localement connexe.

Tout cela peut faire penser à un certain sujet d'agrégation de mathématiques (je ne sais plus l'année) où l'on montrait que le plan n'est pas une réunion disjointes de cercles, mais que l'espace en est une ! Bien sûr, rien de ce qui précède ne s'applique pour ces problèmes de cercles car les partitions considérées ne sont pas dénombrables.

Catégorie(s) : Mathématiques

Régulièrement, j'ai besoin de critiquer le système informatique de mon lycée. Dernière innovation de l'établissement, née du souci de faire des économies d'électricité, je pense : les PC s'éteignent automatiquement tous les jours à 19h.

Le déroulement de l'opération est assez brutal : vous êtes (par exemple) en train de saisir des notes et des appréciations depuis plus d'une heure quand une fenêtre apparaît avec un compte à rebours et un message qui dit en gros «le PC va s'éteindre, veuillez sauvegarder». La première fois, ce n'est pas évident : il faut sauvegarder en quelques secondes, avec une fenêtre impossible à réduire/fermer qui occupe presque tout l'écran, et surtout en pensant à toutes les appréciations qu'on peut perdre et qu'on a eu tant de mal à trouver («résultats encore trop moyens, doit travailler davantage» … ).

Une fois le PC éteint, on peut le rallumer et reprendre le travail jusqu'à minuit si l'on veut. Conclusion : les PC de mon lycée ne sont pas capables de regarder si un utilisateur est en train de les utiliser, de façon à ne pas lancer le processus d'extinction automatique.

P.S. mes excuses à «l'admin» du lycée, au cas où il lirait ceci, je sais qu'il a des choses plus importantes à faire.

Catégorie(s) : Grognements

Omar Bongo est mort hier et, selon le Monde, cela a provoqué :

[…] une avalanche d'hommages au «sage» et à «l'ami», venus de personnalités politiques françaises […]

En même temps, je lis sur Wikipédia que :

Entre 1968 et 1990, son pouvoir fut clairement dictatorial […]

Je suis perplexe : comment un dictateur peut-il être «sage» (à la rigueur «ami», puisque chacun est libre de les choisir) ? À moins que les hommages ne soient destinés au Bongo post 90 qui fût peut-être plus «sage».

Catégorie(s) : Grognements

Appelons espace étalé au dessus d'un espace topologique tout homéomorphisme local . Par exemple, si l'on étale une surface de Nutella sur une surface de pain, on obtient un espace étalé au dessus d'un autre (et c'est même un homéomorphisme). L'identité est toujours un espace étalé (on a étalé une copie de au dessus de ) :

Il est facile de donner un exemple d'espace étalé qui n'est pas un homéomorphisme : on peut considérer l'injection canonique d'un ouvert  :

Et si l'on veut un exemple d'espace étalé surjectif qui n'est pas un homéomorphisme, il suffit de considérer l'application canonique . On a étalé deux copies de au dessus de  :

Il est un peu moins facile de donner un exemple d'espace étalé connexe qui n'est pas un homéomorphisme. L'exemple classique est l'application définie par (enroulement de la droite autour du cercle). :

Voici l'exercice : Montrer que tout espace étalé séparé connexe et surjectif au dessus de est injectif.
Remarque 1. Un tel espace étalé est donc un homéomorphisme.
Remarque 2. Si l'on sait des choses sur la simple connexité, par exemple si l'on admet que est simplement connexe, l'exercice est sans doute trivial. mais le but du jeu est de donner une preuve n'utilisant que les résultats basiques de topologie générale sur la connexité et la compacité.
Remarque 3. Voici le code LaTeX qui permet d'obtenir les dessins ci-dessus :

\documentclass{minimal}
  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{tikz}
\begin{document}
  \begin{tikzpicture}
    \fill[black!30] (0,0) ellipse (2 and 0.5);
    \path[black,->,>=stealth] (0,3) edge node[auto]{$\mathrm{id}$}   (0,0.2) ;
    \fill[black!50] (0,3) ellipse (2 and 0.5);
  \end{tikzpicture}
  \begin{tikzpicture}
    \fill[black!30] (0,0) ellipse (2 and 0.5);
    \path[black,->,>=stealth] (-0.5,3) edge node[auto]{$i$}   (-0.5,0.2) ;
    \fill[black!50] (-0.5,3) ellipse (1 and 0.3);
  \end{tikzpicture}
  \begin{tikzpicture}
    \fill[black!30] (0,0) ellipse (2 and 0.5);
    \path[black,->,>=stealth] (0,3) edge node[auto]{$\mathrm{id}\sqcup\mathrm{id}$}   (0,0.2) ;
    \fill[black!50] (0,3) ellipse (2 and 0.5);
    \fill[black!60] (0,3.7) ellipse (2 and 0.5);
  \end{tikzpicture}
  \begin{tikzpicture}
    \draw[black,very thick] (0,0) ellipse (2 and 0.5);
    \path[black,->,>=stealth] (0,3) edge node[auto]{$f(t)=\exp(it)$}   (0,0.2) ;
    \draw[very thick,domain=0:720,smooth,variable=\t,samples=150] plot ({2*sin(\t)},3+\t/400,{1*cos(\t)});
  \end{tikzpicture}
\end{document}

Catégorie(s) : Mathématiques

En écrivant le corrigé d'un exercice de probabilités, j'ai eu besoin de faire un graphe probabiliste et donc de me plonger dans la documentation de Tikz/PGF. Je reproduis ici le résultat et un code LaTeX minimal qui le produit. Lire la suite

Catégorie(s) : Informatique

Cerné par les annonces de naissances dans mon entourage, je me pose une question futile au sujet des faire-part que je reçois dans ma boîte aux lettres. Souvent, on y trouve les informations suivantes (dans une présentation qui dépend entre autres de la catégorie sociale des parents) :

• Le prénom et le nom du bébé (et le sexe, qui se déduit parfois du prénom)
• Son poids et sa taille

Le prénom et le nom, je comprends. Mais le poids et la taille ! Pourquoi révéler ces détails de l'intimité du nouveau-né ? L'importance de savoir si le bébé de X fait plus ou moins que 4kg, ou de savoir qui, de Y ou Z, a eu le plus grand bébé, m'échappe. Si vous avez une idée de la réponse, aidez-moi

Catégorie(s) : Non classé

J'ai entendu ce matin un journaliste dire sur une grande radio une chose que je pense complètement fausse. C'est au sujet de la loi Hadopi (celle qui va essayer de combattre le téléchargement illégal, mais d'une très mauvaise façon). Le journaliste a expliqué que les artistes qui souffrent le plus du téléchargement illégal ne sont pas Madonna ou Luc Besson, mais les «petits artistes». Je pense que c'est exactement le contraire : Madonna et Luc Besson perdent beaucoup plus d'argent que les petits artistes. Dit comme ça c'est une évidence donc il faut préciser : ils perdent beaucoup plus d'argent que les petits artistes, même proportionnellement à leurs ventes normales. En plus, j'essaye de me mettre à la place des petits artistes : je serais très content d'être téléchargé, ce serait un premier signe de reconnaissance, ça pourrait me faire connaître, et donc augmenter mes ventes de disques, de places de concerts, etc.

Tout ceci me semble être une évidence et je l'écris seulement à cause de ce journaliste qui prétend le contraire !

Catégorie(s) : Grognements

Après l'initiation au génial logiciel LaTeX que j'ai fait subir à mes collègues, il était nécessaire de donner quelques compléments. Voici donc complement.pdf et complement2.pdf. Si vous connaissez déjà LaTeX, je pense que ça peut vous amuser quand même de lire ça (et j'espère des remarques/critiques !); ils ne font que deux pages chacun.

P.S. j'ai bon espoir d'avoir converti définitivement certains collègues à LaTeX puisque l'un d'entre eux m'a déjà affirmé que, finalement, l'éditeur d'équation de Word était moins pratique

Catégorie(s) : Informatique

… pendant que j'étais en train de terminer un calcul de somme de série au tableau, la moitié de la classe est sortie dans le couloir sans rien dire. Et j'ai mis un peu de temps à comprendre qu'ils étaient simplement en train de perpétuer la tradition

Catégorie(s) : Non classé