Quand j’étais étudiant, il y avait un exercice à la mode (on l’appelait «théorème de Kronecker» mais Google ne confirme pas du tout cette terminologie) : démontrer que si est un entier algébrique dont tous les conjugués sont de module 1 alors
est une racine de l’unité. J’en avais déjà parlé dans ce blog. Un exercice sur les matrices posé sur M@th en Ligne m’a donné l’idée de la preuve suivante (qui est très proche de la preuve que j’avais vue à l’époque) :
On note le polynôme minimal de
(ce polynôme est donc unitaire, à coefficients entiers, et toutes ses racines sont de module 1). On note
la matrice compagnon de
(de sorte que
est à la fois le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de
). La suite
est bornée parce que
est diagonalisable (car ses valeurs propres sont simples) et ses valeurs propres de
sont toutes de module 1, elle a donc une valeur d’adhérence
. Mais comme les
sont à coefficients entiers, cela signifie qu’il existe une suite extraite de
qui est constante égale à
. Il existe donc deux entiers naturels
tels que
et, puisque
est inversible,
, et donc
.

