Progression du cours de mathématique - MPSI1 - lycée Chateaubriand

Premier semestre
  1. Nombres complexes et trigonométrie
  2. Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles ou complexes
  3. Primitives et équations différentielles linéaires
  4. Raisonnement et vocabulaire ensembliste
  5. Calculs algébriques
  6. Nombres réels et suites numériques
  7. Limites, continuité
  8. Dérivabilité
  9. Analyse asymptotique
  10. Arithmétique dans \(\mathbf Z\)
  11. Structures algébriques usuelles
  12. Polynômes
  13. Fractions rationnelles
Second semestre
  1. Dénombrement
  2. Espaces vectoriels
  3. Espaces vectoriels de dimension finie
  4. Applications linéaires
  5. Matrices
  6. Intégration
  7. Séries numériques
  8. Groupe symétrique et déterminant
  9. Espaces préhilbertiens réels
  10. Probabilités sur un ensemble fini
  11. Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini

Premier semestre

  1. Nombres complexes et trigonométrie
    1. Construction de \(\mathbf C\)
      1. Rappel sur les ensembles de nombres \(\mathbf N\), \(\mathbf Z\), \(\mathbf Q\), \(\mathbf R\).
      2. Construction du corps des nombres complexes
      3. Opérations sur les nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire
      4. Conjugaison, propriétés
      5. Identification avec le plan usuel muni d'un repère orthonormé. Affixe d'un point, d'un vecteur.
    2. Module
      1. Définition, propriétés algébriques
      2. Inégalité triangulaire, cas d'égalité
      3. Interprétation géométrique, cercles et disques.
    3. Nombres complexes de module 1
      1. Cercle trigonométrique \(\mathbf U\), le nombre \(j\), structure de groupe. Théorème de paramétrisation du cercle. Application aux expressions \(a\cos(t)+b\sin(t)\).
      2. Définition de \(e^{it}\), formules d'Euler, formule de De Moivre.
      3. Linéarisation et «délinéarisation».
    4. Forme trigonométrique
      1. Arguments d'un nombre complexe non nul, propriétés
      2. Factorisation de \(1\pm e^{it}\)
      3. Calcul de \(\sum_{k=0}^n \cos(kt)\) et \(\sum_{k=0}^n \sin(kt)\)
    5. Équations du second degré
      1. Racines carrées de nombres complexes (sous forme algébrique)
      2. Résolution des équations du second degré, forme canonique. *Factorisation des trinômes, identification des coefficients*.
      3. Somme et produit des racines
    6. Racines \(n\)-èmes
      1. Racines \(n\)-ème d'un nombre complexe, représentation géométrique.
      2. Ensemble \(\mathbf U_n\) des racines \(n\)-èmes de l'unité, structure de groupe
    7. Exponentielle complexe
      1. Définition, exponentielle d'une somme
      2. Défaut d'injectivité de l'exponentielle et résolution de \(\exp(z)=a\)
    8. Interprétation géométrique des nombres complexes
      1. *Rappel sur les angles orientés, relation de Chasles*. Module de \(c-b\), argument de \(\frac{c-b}{c-a}\), alignement et orthogonalité
      2. Applications \(z\mapsto az+b\). Translations, homothéties, rotations.
  2. Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles ou complexes
    1. Inégalités dans \(\mathbf R\).
      1. Le corps ordonné des réels. Intervalles. Exemples de minorations, majorations (de sommes, de produits, de quotients).
      2. Partie positive \(x^+\), negative \(x^-\), valeur absolue, interprétation géométrique de \(|x-a|\). Inégalités triangulaires.
      3. Majorant, minorant, maximum, minimum. Parties bornées.
    2. Généralités sur les fonctions.
      1. Domaine de définition et codomaine. Restriction, prolongement.
      2. Graphe d'une fonction. Représentation graphique de \(x\mapsto f(x+a)\) etc. Résolution graphique de \(f(x)\ge \lambda\) etc.
      3. Parité, périodicité.
      4. Sommes, produit, composée.
      5. Monotonie, stricte et large.
      6. Fonctions minorées, majorées, bornée. Une fonction \(f\) est bornée si et seulement si \(|f|\) est majorée. *Sommes et produits de fonctions bornées*.
    3. Dérivation
      1. Cordes, nombre dérivé en un point, tangente
      2. Dérivée d'une somme, d'un produit, d'une composée (admis)
      3. Étude des variations à l'aide de la dérivée (admis). Tableau de variation
      4. Dérivée d'une réciproque. Graphe d'une réciproque et interprétation géométrique
      5. Dérivées d'ordre supérieur
    4. Étude d'une fonction
      1. Plan : réduction du domaine d'étude, tableau de variation, asymptotes verticales et horizontales, tracé
      2. Application à la recherche d'extremum et à l'obtention d'inégalités.
    5. Fonctions usuelles
      1. Signe, partie entière, partie fractionnaire
      2. Exponentielle (existence admise)
      3. (Rappel) Le théorème de la bijection
      4. Logarithme népérien (et logarithme en base quelconque), exponentielle de base quelconque
      5. Puissances
      6. Croissances comparées
      7. Sinus et cosinus (existences admises), formules de trigonométrie
      8. Tangente
      9. Fonctions circulaires réciproques : Arccos, Arcsin, Arctan
      10. Fonctions hyperboliques
    6. Dérivation des fonctions à valeurs complexes [cette partie sera vue plus tard : chapitre V section A]
      1. Définition
      2. Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient
      3. Dérivée de \(e^\varphi\) où \(\varphi\) est dérivable à valeurs complexes
  3. Primitives et équations différentielles linéaires
    1. Dérivation des fonctions à valeurs complexes
      1. Définition et exemples, dérivée d'une partie réelle, d'une partie imaginaire, d'une conjuguée
      2. Caractérisation des fonctions constantes sur un intervalle
      3. Linéarité, dérivée d'un produit, d'un quotient
      4. Dérivée d'une composée \(I\to J\to\mathbf C\). Dérivée de \(\exp(\varphi)\) où \(\varphi\) est une fonction dérivable à valeurs complexe.
    2. Primitives
      1. Définition, primitives d'une même fonction sur un intervalle, primitives d'une combinaison linéaire, primitive d'une partie réelle et d'une partie imaginaire
      2. Primitives usuelles : \(u'u^a\) avec \(a\neq -1\), \(u'e^u\), \(\frac{u'}{u}\), \(u'\cos(u)\), \(u'\sin(u)\), \(\frac{u'}{1+u^2}\), \(\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\)
      3. Applications : primitives de \(x\mapsto e^{ax}\cos(bx)\), primitives de \(x\mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}\).
      4. Rappels sans démonstration sur l'intégrale des fonctions continues sur un segment (interprétation géométrique, additivité, linéarité, positivité).
      5. Dérivée de \(x\mapsto \int_{x_0}^x f(t)\mathrm dt\) où \(f\) est continue. Existence de primitives. Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive.
      6. Intégration par parties (et définition de la classe \(\mathcal C^1\)). Exemples.
      7. Changement de variable
      8. Calcul de primitives à l'aide d'intégrales, exemples : primitives de \(\ln\), de \(x\mapsto x e^x\), de \(x\mapsto \frac{1}{\cos(x)}\)
      9. *Généralisation aux fonctions à valeurs complexes*
    3. Équations différentielles linéaires d'ordre 1
      1. Définition, équation homogène associée
      2. Résolution des équations homogènes \(y'+ay=0\), cas où \(a\) est constante
      3. Forme des solutions des équations avec second membre
      4. Rechercher d'une solution particulière : principe de superposition, méthode de la variation de la constante, *passage à la partie réelle ou imaginaire*, *cas d'un second membre de la forme \(P(x) e^{\alpha x}\) où \(P\) est un polynôme*.
      5. Problème de Cauchy
    4. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants
      1. Définition, équation homogène associée
      2. Résolution des équations homogènes, équation caractéristique associée
      3. Forme des solutions des équations avec second membre
      4. Recherche d'une solution particulière dans le cas où le second membre est de la forme \(x\mapsto A e^{\lambda x}\) puis \(x\mapsto B \cos(\omega x)\) et \(x\mapsto B\sin(\omega x)\), *ou plus généralement \(P(x)e^{\alpha x}\) où \(P\) est un polynôme*. Principe de superposition, *passage à la partie réelle ou imaginaire*.
      5. Problème de Cauchy
  4. Raisonnement et vocabulaire ensembliste
    1. Rudiments de logique
      1. Assertions, quantificateurs
      2. Équivalence, Négation, conjonction, disjonction, implication. Propriétés (lois de Morgan, négation et quantificateurs, contraposée), réciproque et contraposée, négation d'une implication.
      3. *le mot «soit» en math, démonstration d'une assertion qui commence par un quantificateur*. Raisonnements par récurrence, par contraposition, par l'absurde, par analyse-synthèse.
    2. Ensembles
      1. Ensembles, appartenance, inclusion, sous-ensembles, ensemble vide
      2. Opérations sur les parties d'un ensembles (union, intersection, différence, complémentaire)
      3. Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles
      4. Ensemble des parties d'un ensemble
    3. Applications
      1. Application d'un ensemble dans un ensemble, graphe d'une application,
      2. Fonction identité d'un ensemble, fonctions indicatrices
      3. Suites et familles. *Théorème de définition par récurrence*.
      4. Restriction et prolongement
      5. Image directe et image réciproque
      6. Composition
      7. Injection, surjection, bijection (caractérisation, composition)
    4. Relations [cette partie sera vue plus tard : chapitre VI section A et chapitre X]
      1. Relation binaire sur un ensemble
      2. Relation d'équivalence, classes d'équivalence. Partition. Les classes d'équivalences forment une partition. Relations de congruence modulo un réel sur \(\mathbf R\). Relation de congruence modulo un entier sur \(\mathbf Z\).
      3. Relation d'ordre, ordre partiel, ordre total
  5. Calculs algébriques
    1. Sommes et produits
      1. Somme et produit d'une famille finie de nombres complexes, linéarité de la somme
      2. Changement d'indice
      3. Sommes classiques
      4. Sommes télescopiques
      5. Factorisation de \(a^n-b^n\)
      6. Sommes doubles, sommes triangulaires.
    2. Factorielle, coefficients binomiaux
      1. Propriétés, formule et triangle de Pascal
      2. Lien avec le cours de première (dénombrement de chemins)
      3. Formule du binôme pour les nombres complexes
    3. Systèmes linéaires réels ou complexes
      1. Interprétation géométrique en petites dimensions
      2. Système homogène associé, structure de l'ensemble des solutions
      3. Opérations élémentaires, systèmes échelonnés, algorithme du pivot.
  6. Nombres réels et suites numériques
    1. Relations d'ordre
      1. Relations binaires, relations d'ordre, ordre total
      2. Majorants, minorants
      3. Maximum, minimum
      4. Supremum, infimum, cas des intervalles. Propriété fondamentale de \(\mathbb R\).
    2. Nombres réels
      1. Entiers naturels et entiers relatifs. Tout ensemble non vide (resp. non vide majoré) d'entiers naturels a un minimum (resp. un maximum). Tout ensemble non vide et borné d'entiers relatifs a un minimum et un maximum.
      2. L'ensemble \(\mathbf R\), muni de \(+\), \(\times\) et \(\le\) est un corps ordonné qui a la propriété de la borne supérieure; il est archimédien. Nombres décimaux, rationnels, irrationnel.
      3. Partie entière \(\lfloor x\rfloor\), partie fractionnaire \(\{x\}\)
      4. Valeurs décimales approchées à la précision \(10^{-n}\) par défaut et par excès
      5. Tout intervalle ouvert non vide rencontre \(\mathbf R\) et \(\mathbf R\setminus \mathbf Q\)
      6. Droite achevée \(\overline{\mathbf R}\). Prolongement de \(\le\), \(+\) et \(\times\)
      7. Parties convexes de \(\mathbf R\). Toute partie convexe de \(\mathbf R\) est un intervalle.
    3. Généralités sur les suites réelles
      1. Rappel sur la notion de suite. Suites définies par récurrence. Représentation graphique d'une suite
      2. Suites majorées, minorées, bornées. Une suite est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée. Suites complexes bornées.
      3. Suites monotones, strictement monotones.
      4. L'expression «à partir d'un certain rang». Toute suite bornée à partir d'un certain rang est bornée.
    4. Limite d'une suite
      1. Limite, finie ou infinie. Notation \(u_n\to \ell\). Équivalences \(u_n\to \ell \iff u_n-\ell\to 0 \iff |u_n-\ell|\to 0\). Si \(u_n\to \ell\), alors \(|u_n|\to |\ell|\)
      2. Premiers exemples : les suites constantes (ou stationnaires), la suite \(u_n=n\), la suite \(u_n=\frac{1}{n}\).
      3. Unicité de la limite. Notation \(\lim u_n\)
      4. Suites convergentes, suites divergente. Toute suite convergente est bornée. Réciproque fausse.
      5. Stabilité des inégalités larges par passage à la limite. Si \(u_n\to \ell>0\), alors \(u_n>\frac{\ell}{2}\) à partir d'un certain rang. Théorème de convergence par encadrement. *Si \(|u_n-\ell|\le a_n\) et \(a_n\to 0\), alors \(u_n\to \ell\)*. Théorème de divergence par minoration ou majoration.
      6. Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, inverse, quotient. *Somme d'une suite convergente et d'une suite divergente*.
    5. Suites monotones
      1. Théorème de la limite monotone
      2. Suites adjacentes. Théorème des suites adjacentes
    6. Suites extraites
      1. Suites extraites
      2. Si une suite a pour limite \(\ell\), toutes ses suites extraites aussi
      3. \(u_n\to\ell\) si et seulement si \(u_{2n}\to \ell\) et \(u_{2n+1}\to \ell\). Exemple de \((-1)^n\).
      4. Théorème de Bolzano-Weierstrass
    7. Traductions séquentielles de certaines propriétés
      1. Parties denses de \(\mathbf R\), caractérisation séquentielle
      2. Bornes supérieures et inférieures
    8. Suites complexes
      1. Définition de la limite, unicité de la limite
      2. Opération sur les limites. Limite du module d'une suite.
      3. Limite d'une suite extraite. Théorème de Bolzano-Weierstrass
    9. Suites particulières
      1. Suites arithmétiques, suites géométriques, *croissances comparées de \(n!\) et \(c^n\)*
      2. Suites arithmético-géométriques
      3. Suites récurrentes linéaires homogène d'ordre 2 à coefficients constants
      4. Suites définie par une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\). Lien entre éventuelle limite de \((u_n)\) et points fixes de \(f\) [ce point sera étudié plus tard, avec les fonctions continues]
  7. Limites, continuité
    1. Limite d'une fonction en un point
      1. Voisinages. L'expression «au voisinage de».
      2. Définition de la limite. L'existence et la valeur d'une limite ne dépendent que des valeurs de la fonction au voisinage du point considéré.
      3. Caractérisation séquentielle de la limite
      4. Unicité de la limite
      5. Premiers exemples de limites. *Exemples de fonctions sans limite*.
      6. Opérations sur les limites. Composition.
      7. Limites et inégalités. Conservation des inégalités larges. Convergence par encadrement, divergence par minoration ou majoration. Une fonction qui admet une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.
      8. Limites latérales (strictes). Si \(f\) admet une limite en un point \(a\) où elle est définie, alors cette limite est nécessairement \(f(a)\).
      9. Limites des fonctions monotones
    2. Continuité
      1. Continuité en un point, prolongement par continuité
      2. Continuité latérale
      3. Caractérisation séquentielle de la continuité en un point
      4. Opérations sur les fonctions continues en un point. Composition. Premiers exemples de fonctions continues.
      5. Continuité sur un intervalle, ensemble \(\mathcal C(I,\mathbb R)\)
    3. Image d'un intervalle par une fonction continue
      1. Théorème des valeurs intermédiaires
      2. Cas des fonctions strictement monotone
      3. Algorithme de dichotomie pour la recherche d'un zéro [ceci sera vu en cours d'informatique]
    4. Image d'un segment par une fonction continue
      1. Théorème de Weierstrass : toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes
      2. Image d'un segment par une fonction continue
    5. Continuité et injectivité
      1. Caractérisation de l'injectivité pour les fonctions continues
      2. Caractérisation de la continuité pour les fonctions monotones
      3. Continuité d'une bijection réciproque. Théorème de la bijection. Application aux fonctions usuelles (racine carrée…).
    6. Continuité des fonctions à valeurs complexes
      1. Définition
      2. Fonctions complexes continues sur un segment
    7. Application aux suites récurrentes
      1. Lien entre limite d'une suite récurrente et point fixe de la fonction itératrice
      2. Exemples
  8. Dérivabilité
    1. Nombre dérivé
      1. Définition, développement limité à l'ordre 1, tangente
      2. La dérivabilité entraîne la continuité
      3. Dérivabilité latérale
      4. Opérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, composée, inverse, quotient, puissance), dérivée d'une réciproque. Application aux fonctions usuelles (racine carrée, arcsin, …).
      5. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée
    2. Extrema locaux, points critiques
      1. Extrema globaux, locaux
      2. Lien avec les points critiques
    3. Théorème des accroissements finis
      1. Théorème de Rolle
      2. Égalité des accroissements finis
      3. Fonctions lipschitziennes
      4. Inégalité des accroissements finis
      5. Caractérisation des fonctions dérivables constantes, croissantes, strictement croissantes
      6. Théorème de la limite de la dérivée
    4. Fonctions de classe \(\mathcal C^k\)
      1. Définition des fonctions \(\mathcal D^k\) puis \(\mathcal C^k\) pour \(k\in\mathbb N\cup \{\infty\}\)
      2. Linéarité
      3. Formule de Leibniz
      4. Composition, inverse et quotient
      5. Réciproque
      6. Théorème de classe \(\mathcal C^k\) par prolongement
    5. Dérivation des fonctions complexes
      1. Définition
      2. Inégalité des accroissements finis pour une fonction \(\mathcal C^1\)
  9. Analyse asymptotique
    1. Relations de comparaison pour les suites
      1. Équivalence, propriétés algébriques, propriétés conservées par l'équivalence
      2. Négligeabilité. Propriétés \(o(u)+o(u)=o(u)\), \(v o(u)=o(vu)\), etc.
      3. Domination
      4. Liens entre les relations : \(u\sim v\iff u=v+o(v)\), \(u\sim v\Rightarrow o(u)=o(v)\)
    2. Relations de comparaison pour les fonctions
      1. Équivalence, négligeabilité, domination
      2. Exemples des fonctions \(x\mapsto x^a\) au voisinage de 0 et de \(+\infty\)
    3. Développements limités
      1. Définition, troncature, unicité, *cas des ordres 0 et 1*.
      2. (forme normalisée ?) équivalent
      3. *Opérations sur les petits o des puissances de \(x\) au voisinage de 0 : \(o(x^p)o(x^n)=o(x^{p+n})\), etc.* Opérations sur les développements limités : somme, produit, composition
      4. Primitivation des développements limités. *Dérivation des développements limités*.
      5. Formule de Taylor-Young
      6. Développements limités usuels
      7. Exemples de calculs de développements limités, en 0 et en \(a\neq 0\)
      8. Application au calcul de limite ou d'équivalents
      9. Allure d'une courbe au voisinage d'un point, extrema locaux
    4. Exemples de développements asymptotiques
      1. Recherche d'asymptotes
      2. Série harmonique : \(H_n=\ln(n)+\gamma+o(1)\)
      3. Formule de Stirling (énoncé)
  10. Arithmétique dans \(\mathbf Z\)
    1. Relations d'équivalence
      1. Définition, exemples
      2. Classes d'équivalence
    2. Divisibilité
      1. Diviseurs, multiples, entiers associés
      2. Théorème de division euclidienne. Caractérisation de la divisibilité.
    3. PGCD, PPCM
      1. Définition, caractérisation
      2. Algorithme d'Euclide
      3. Calcul d'une relation de Bézout
      4. PPCM, lien avec le PGCD
    4. Entiers premiers entre eux
      1. Définition, théorème de Bézout
      2. Lemme de Gauss
      3. Représentant irréductible d'un rationnel
      4. Résolution des équations diophantiennes \(ax+by=c\)
    5. Nombres premiers
      1. Définition, plus petit diviseur non trivial d'un entier, si un nombre premier divise un produit alors il divise l'un des facteurs, test de primalité.
      2. Ensemble des nombres premiers : il est infini. Autres théorèmes et conjectures
      3. Théorème de décomposition en facteurs premiers
      4. Valuation \(p\)-adique : caractérisation de la divisibilité, expression du PGCD etdu PPCM
    6. Congruences
      1. La congruence modulo \(n\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbf Z\) compatible avec la somme et le produit. Applications : critères de divisibilité en base 10
      2. Caractérisation du reste d'une division euclidienne, exemple de calcul de reste
      3. Si \(p\) est premier, alors \(p\) divise \(\binom{p}{k}\) pour tout \(1\le k\le p-1\), Freshman's dream de Frobenius : \((a+b)^p\equiv a^p+b^p [p]\). Petit théorème de Fermat et applications.
  11. Structures algébriques usuelles
    1. Loi de composition interne
      1. Définition, exemples. Notation additive, notation multiplicative.
      2. Associativité, commutativité, distributivité
      3. Élément neutre, unicité
      4. Inversibilité, inverse, unicité. Inversibilité et inverse d'un produit
      5. Partie stable. Exemples et contre-exemples
    2. Groupes
      1. Définition. Groupes commutatifs. Groupes additifs usuels \(\mathbf Z,\mathbf Q,\dots\).
      2. Groupe \(S_X\) des permutations d'un ensemble \(X\). *table d'un groupe fini*.
      3. Sous-groupes. Définition et caractérisation. Exemples : \(\mathbf U_n\), …
      4. *Calcul dans un groupe : \(xy=xz\Rightarrow yz\), \((x^{-1}yx)^n=x^{-1}y^n x\).*
    3. Anneaux et corps
      1. Anneaux, anneaux commutatifs. *Sous-anneaux*. Corps. Exemples usuels. *Intégrité des corps*.
      2. Calcul dans un anneau : \(a^n-b^n\) et \((a+b)^n\) lorsque \(a\) et \(b\) commutent.
      3. Groupes des inversibles d'un anneau. Exemples.
  12. Polynômes
    1. Anneau des polynômes en une indéterminées
      1. L'anneau \(\mathbb K[X]\). Égalité de deux polynômes.
      2. Degré. Coefficient dominant, polynôme unitaire. Intégrité de \(\mathbb K[X]\). Ensemble \(\mathbb K_n[X]\)
      3. Composition des polynômes
    2. Divisibilité et division euclidienne
      1. Divisibilité, diviseur, multiple. Polynômes associés, caractérisation.
      2. Théorème de division euclienne. Algorithme.
    3. Fonctions polynomiales et racines
      1. Fonction polynomiale associée à un polynôme
      2. Racine (ou zéro). Caractérisation en terme de divisibilité. Tout polynôme non nul est le produit de polynômes de degré 1 par un polynôme sans racine. Le degré majore le nombre de racines.
      3. Multiplicité. Convention pour la multiplicité 0. Caractérisations. Le degré majore le nombre de racines comptées avec multiplicité.
      4. Polynômes scindés. Relations entre coefficients et racines
    4. Dérivation
      1. Définition. Lien avec la dérivation des fonctions lorsque \(\mathbb K=\mathbb R\). Degré du dérivé. Caractérisation des polynômes constants.
      2. Opérations : combinaison linéaire, produit, puissances. Formule de Leibniz.
      3. Formule de Taylor polynomiale. *Reste de la division euclidienne par \((X-a)^v\)*.
      4. Caractérisation différentielle de la multiplicité
    5. Arithmétique dans \(\mathbb K[X]\)
      1. PGCD. Relation de Bézout. Les diviseurs communs sont les diviseurs du PGCD. PGCD unitaire \(A\wedge B\).
      2. Algorithme d'Euclide. Algorithme d'Euclide étendu.
      3. PPCM. Les multiples communs sont les multiples du PPCM. Lien avec le PGCD.
      4. Polynômes premiers entre eux. Théorème de Bézout, lemme de Gauss, si \(a|c\) et \(b|c\) et \(a\wedge b=1\), alors \(ab|c\). PGCD d'un nombre fini de polynômes, polynômes premiers entre eux dans leur ensemble.
    6. Polynômes irréductibles
      1. Généralités. Si \(P\) irréductible, alors \(P|Q\) ou \(P\wedge Q=1\). Deux polynômes irréductibles sont premiers entre eux ou associés. Théorème de décomposition en facteurs irréductibles, existence et unicité.
      2. Théorème de d'Alembert-Gauss (admis). Remarque historique sur la résolubilité par radicaux.
      3. Polynômes irréductibles dans \(\mathbb C[X]\). Décomposition en irréductibles dans \(\mathbb C[X]\). Lien avec les racines et la multiplicité. Dans \(\mathbb C[X]\), tout polynômes est scindé. Caractérisation de la divisibilité et de la primalité relative en termes de racines et de multiplicités.
      4. Polynômes irréductibles dans \(\mathbb R[X]\). Décomposition en irréductibles dans \(\mathbb R[X]\). Lien avec la décomposition dans \(\mathbb C[X]\). Tout polynôme réel de degré impair admet une racine réelle.
    7. Interpolation de Lagrange
      1. Polynômes qui coïncident en une infinité de points, lien entre polynôme et fonction polynomiale
      2. Formule d'interpolation de Lagrange
      3. Description de tous les polynômes d'interpolation.
  13. Fractions rationnelles
    1. Le corps \(\mathbb K(X)\).
      1. Corps \(\mathbb K(X)\). Forme irréductible
      2. Degré
      3. Zéros et pôles, multiplicités.
      4. Fonction rationnelle
    2. Décomposition en éléments simples dans \(\mathbb C(X)\) et \(\mathbb R(X)\).
      1. Partie entière
      2. Énoncé des théorèmes, partie polaire
      3. Calcul dans le cas d'un pôle simple
      4. Calcul dans le cas général, utilisation de la conjugaison complexes et de la parité, utilisation d'évaluations et de passage à la limite
      5. Décomposition en éléments simples de \(P'/P\)
        1. Par le calcul direct de \(P'\) à partir de l'expression factorisée de \(P\).
        2. En utilisant la notion de dérivée logarithmique.
    3. Applications
      1. Primitives des fonctions rationnelles, éléments de première espèce, éléments de seconde espère
      2. Dérivées d'ordre supérieur des fonctions rationnelles
      3. Calcul de certaines sommes par télescopage

Second semestre

  1. Dénombrement
    1. Cardinal d'un ensemble fini
      1. Ensembles finis, définition du cardinal, *cohérence de la définition*.
      2. Injection, surjections et inégalités entre les cardinaux. Principe des tiroirs. Pour une application entre ensembles finis de même cardinal, l'injectivité équivaut à la surjectivité. Si \(E\) est fini et \(A\subset E\), alors \(A\) est finie et \(|A|\le |E|\), cas d'égalité.
      3. Union d'ensembles finis
      4. Produit d'ensembles finis
      5. Ensemble des applications d'un ensemble fini dans un autre
      6. Ensemble des parties d'un ensemble fini
      7. *Ensembles infinis, ensembles dénombrables*
    2. Listes et combinaisons
      1. Dénombrement de \(p\)-listes d'éléments distincts, dénombrement d'injections
      2. Dénombrement de \(p\)-combinaisons
    3. Application aux probabilités
      1. Expérience aléatoire, modélisation. Probabilité uniforme sur un ensemble fini.
      2. Exemples
  2. Espaces vectoriels
    1. Espaces vectoriels
      1. Structure de \(\mathbb K\)-espace vectoriel, \(\lambda x=0_E\iff (\lambda=0_{\mathbb K}\text{ ou }x=0_E)\), combinaisons linéaires
      2. Exemples : \(\mathbb K^n\), \(\mathbb K[X]\), \(\mathcal F(X,\mathbb K)\), \(\mathbb K^{\mathbb N}\)
      3. Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels
    2. Sous-espaces vectoriels
      1. Définition, tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul. Caractérisation
      2. Exemples : sous-espace nul, droites dans le plan, droites et plans dans l'espace, \(\mathbb K_n[X]\) dans \(\mathbb K[X]\), \(\mathcal C(I,\mathbb K)\) dans \(\mathcal F(I,\mathbb K)\)
      3. Intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels
      4. Sous-espace vectoriel engendré par une partie (ou par une famille). *Opérations sur les «Vect», somme de deux «Vect».*
    3. Familles de vecteurs
      1. Familles et parties génératrices
      2. Familles et parties libres
      3. Bases, coordonnées
      4. Bases canoniques de \(\mathbb K^n\), \(\mathbb K_n[X]\), \(\mathbb K[X]\)
    4. Sommes de sous-espaces vectoriels
      1. Somme de deux sous-espaces vectoriels
      2. Somme directe de deux sous-espaces vectoriels, caractérisation, bases adaptées
      3. Sous-espaces supplémentaires. *Tout supplémentaire de \(F\cap G\) dans \(F\) est un supplémentaire de \(G\) dans \(F+G\).*
      4. Somme d'un nombre fini de sous-espaces
      5. Somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels, bases adaptées, *Si on «partage» une famille libre en sous-familles, alors les sous-espaces engendrés par ces sous-familles sont en somme directe. En particulier, toute base permet d'écrire l'espace comme une somme directe de droites*.
  3. Espaces vectoriels de dimension finie
    1. Existence de bases
      1. Définition des espaces vectoriels de dimension finie, exemples
      2. *Si \(L\) est libre et \(x\notin\mathrm{Vect}(L)\) alors \(L\cup\{x\}\) est libre*. Théorèmes de la base incomplète, de la base extraite. Existence de bases
    2. Dimension des espaces vectoriels de dimension finie
      1. Lemme sur les famille de \(n+1\) vecteurs dans un espace engendré par \(n\) vecteurs
      2. Définition de la dimension. *Dimension d'une somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels.* Exemples : \(\mathbb K^n\), \(\mathbb K_n[X]\), espaces de solutions d'équations différentielles, espaces de suites récurrentes linéaires d'ordre 2
      3. Familles libres et familles génératrices en dimension \(n\). *Application aux familles de polynômes de degrés échelonnés*.
      4. Dimension d'un produit fini d'espaces vectoriels de dimension finie
    3. Dimension des sous-espaces vectoriels
      1. Dimension d'un sous-espace vectoriel, cas d'égalité. Droites, plans. Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^2\) et de \(\mathbb R^3\)
      2. Existence d'un supplémentaire, dimension commune des supplémentaires (en dimension finie), codimension. Base adaptée à un sous-espace
      3. Formule de Grassmann. Caractérisation des couples de sous-espaces vectoriels supplémentaires
      4. Majoration de la dimension de la somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels. Cas d'égalité
      5. Rang d'une famille de vecteurs. Majorations du rang d'une famille et cas d'égalité.
  4. Applications linéaires
    1. Généralités
      1. Linéarité, caractérisation, image du vecteur nul. L'espace vectoriel \(\mathcal L(E,F)\), composition, bilinéarité de la composition, isomorphismes, isomorphisme réciproque.
      2. Images et images réciproques de sous-espaces vectoriels. Noyau et image. Caractérisation de l'injectivité. *\(f\left(\mathrm{Vect}(x_1,\dots,x_p)\right)=\mathrm{Vect}(f(x_1),\dots,f(x_p))\)*, l'image d'une famille génératrice est une famille génératrice de l'image. Image d'une base par un isomorphisme.
      3. Applications linéaires de rang fini. Rang. Invariance par composition par un isomorphisme.
    2. Endomorphismes
      1. Identité \(\mathrm{Id}_E\), homothéties, anneau \(\mathcal L(E)\), notation \(uv\) pour \(u\circ v\), non commutativité en dimension \(\ge 2\).
      2. Projecteurs et symétries. Caractérisation des idempotents et des involutions.
      3. Automorphismes, groupe linéaire \(\mathrm{GL}(E)\)
    3. Détermination d'une application linéaire
      1. Définition d'une application linéaire sur une somme directe \(E_1\oplus\dots\oplus E_n\). Définition d'une application linéaire par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité de cette application linéaire. Classification à isomorphisme près des espaces vectoriels de dimension finie par leur dimension.
      2. Injectivité et surjectivité des applications linéaires entre espaces vectoriels de même dimension finie. Inversibilité à gauchet et à droite des endomorphismes en dimension finie.
      3. Dimension de \(\mathcal L(E,F)\) lorsque \(E\) et \(F\) sont de dimension finie.
    4. Théorème du rang
      1. Toute application linéaire induit un isomphisme de tout supplémentaire de son noyau sur son image Théorème du rang
      2. *Nouvelle démonstration de la formule de Grassmann*
    5. Formes linéaires et hyperplans
      1. Formes linéaires. Formes coordonnées relative à une base
      2. Hyperplans (noyau d'une forme linéaire non nulle) Supplémentaires des hyperplans, supplémentaires des droites. Caractérisation des hyperplans par leur dimension, en dimension finie. Équation en dimension finie. Comparaison des équations d'un même hyperplan.
      3. Intersection d'un nombre fini d'hyperplans. Tout sous-espace vectoriel de codimension \(p\) est l'intersection de \(p\) hyperplans. Exemples des droites de \(\mathbb R^2\), des droites et des plans de \(\mathbb R^3\)
    6. Sous-espaces affines des espaces vectoriels
      1. Structure affine d'un espace vectoriel, points et vecteurs. Translation. Relation de Chasles.
      2. Sous-espace affine, direction, hyperplan affine. Intersection de sous-espaces affines.
      3. Ensemble des solutions de l'équation \(u(x)=a\) où \(u\) est une application linéaire. Retour sur les équations différentielles linéaires, les systèmes linéaires, et l'interpolation polynomiale.
      4. Repère affine, coordonnées.
  5. Matrices
    1. Calcul matriciel
      1. Espaces de matrices : espaces \(\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)\), base canonique et dimension
      2. Produit matriciel
        1. Bilinéarité, associativité. Produit d'éléments de bases canoniques. Matrices unités.
        2. Anneau \(\mathcal M_n(\mathbb K)\), non commutativité si \(n\ge 2\), exemples de diviseurs de zéros et de nilpotents
        3. Formule du binôme, calcul de puissances
        4. Matrices inversibles, inverse. Groupe linéaire \(\mathrm{GL}_n(\mathbb K)\)
        5. Produits de matrices diagonales, triangulaires supérieures, inférieures
      3. Transposition
        1. Linéarité, produit, inverse
        2. *Matrices symétriques, matrices antisymétriques*.
    2. Matrices et applications linéaires
      1. Matrice d'une application linéaire dans des bases
        1. Matrice \(\mathrm{Mat}_e(v_1,\dots,v_p)\) d'une famille de vecteurs dans une base, matrice \(\mathrm{Mat}_{e,f}(u)\) d'une application linéaire dans un couple de bases. Isomorphisme \(u\mapsto \mathrm{Mat}_{e,f}(u)\).
        2. Matrice de l'image d'un vecteur par une application linéaire, matrice d'une composée, lien entre matrices inversibles et isomorphismes. Cas particulier des endomorphismes.
      2. Application linéaire canonique associée à une matrice
        1. Noyau, image et rang d'une matrice. Les colonnes engendrent l'image, les lignes donnent un système d'équation du noyau. Caractérisation de l'inversibitilité d'une matrice carrée par son image, ou son noyau, ou son rang. Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à gauche (resp. à droite).
        2. Caractérisation des matrices triangulaires par l'endomorphisme associé. Inversibilité d'une matrice triangulaire. L'inverse d'une matrice triangulaire (resp. diagonale) est triangulaire (resp. diagonale).
      3. Blocs
        1. Matrice par blocs, interprétation géométrique
        2. Théorème du produit par blocs (démonstration non exigible)
    3. Changement de base, équivalence, similitude
      1. Matrice de passage.
        1. Matrice de changement de base \(P_{\mathcal B}^{\mathcal C}\), inversibilité et inverse des matrices de passage. *Toute matrice inversible est une matrice de passage*.
        2. Changement de base pour un vecteur, pour une application linéaire, pour un endomorphisme. *Exemple : calcul d'un projecteur*.
      2. Matrices équivalentes et rang.
        1. Matrices \(J_r\). Toute application linéaire de rang \(r\) a pour matrice \(J_r\) dans des bases convenables
        2. Équivalence des matrices, interprétation géométrique. Une matrice est de rang \(r\) si et seulement si elle est équivalente à \(J_r\). Invariance du rang par transposition.
        3. Rang d'une matrice extraite. Caractérisation du rang par les matrices carrées extraites
      3. Matrices semblables et trace.
        1. Matrices semblables, interprétation géométrique, *exemples des matrices idempotentes*.
        2. Trace d'une matrice carrée, trace d'un produit, invariance par similitude
        3. Trace d'un endomorphisme en dimension fini, trace d'un projecteur
    4. Opérations élémentaires et systèmes linéaires
      1. Opérations élémentaires
        1. Interprétation en termes de produit matriciel
        2. Les opérations élémentaires sur les lignes conservent le noyau, celles sur les colonnes conservent l'image, toutes conservent le rang. Application au calcul du rang et à l'inversion des matrices.
      2. Systèmes linéaires
        1. Écriture matricielle, interprétation géométrique (intersection d'hyperplans affines). Système homogène associé, rang, dimension de l'espace des solutions. Compatibilité, structure affine des solutions.
        2. Système carré. Un système carré possède une et une seule solution si et seulement si sa matrice est inversible. Système de Cramer.
        3. Algorithme du pivot de Gauss
  6. Intégration
    1. Continuité uniforme, théorème de Heine
    2. Fonction continue par morceaux
      1. Subdivisions d'un segment, pas d'une subdivision, *subdivision plus fine que deux subdivisions données*.
      2. Fonctions en escaliers, *l'espace vectoriel \(\mathcal E([a,b],\mathbb K)\)*.
      3. Fonctions continues par morceaux sur un segment, sur un intervalle, *l'espace vectoriel \(\mathcal C_m(I,\mathbb K)\). Composée d'une fonction continue par une fonction continue par morceaux, valeur absolue d'une fonction continue par morceaux.*
    3. Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
      1. Intégrale des fonctions en escalier, linéarité, positivité et croissance, additivité.
      2. *Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux sur un segment par des fonctions en escalier, norme de la convergence uniforme*
      3. Intégrale des fonctions continues par morceaux, notation \(\int_{[a,b]} f\), linéarité, positivité et croissance, additivité. Relation \(\left|\int_{[a,b]} f\right|\le \int_{[a,b]}\left|f\right|\). Interprétation géométrique (aire), valeur moyenne. Notation \(\int_a^b f\) lorsque \(b\le a\), relation de Chasles. Stricte positivité de l'intégrale pour les fonctions continues.
    4. Sommes de Riemann, énoncé pour les fonctions continues par morceaux, démonstration dans le cas \(\mathcal C^1\).
    5. Intégrale fonction de sa borne supérieure
      1. Dérivation de \(x\mapsto \int_a^x f(t)\mathrm dt\) pour \(f\) continue. Calcul d'une intégrale au moyen de primitive. Existence de primitive pour les fonctions continues, *application : construction des fonctions usuelles transcendantes*.
      2. Intégration par parties, changement de variable (rappels)
    6. Calcul de primitives
      1. Primitives usuelles
      2. Calcul de primitive par intégration par parties
      3. Calcul de primitive par changement de variable
      4. Utilisation de la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles
    7. Formules de Taylor
      1. Formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre \(n\) pour une fonction de classe \(\mathcal C^{n+1}\)
      2. Inégalité de Taylor-Lagrange pour une fonction de classe \(\mathcal C^{n+1}\). *Application au développement en série de l'exponentielle*.
  7. Séries numériques
    1. Généralités
      1. Série \(\sum u_n\) de terme général \(u_n\). Sommes partielles, convergence, divergence. Somme \(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\) et restes \(\sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n\) d'une série convergente.
      2. Linéarité de la somme
      3. Divergence grossière
      4. Séries géométriques, *série exponentielle, série harmonique*
      5. Lien suite-série, la suite \((u_n)\) et la série \(\sum (u_{n+1}-u_n)\) ont même nature
    2. Séries à termes positifs
      1. Une série à termes positifs *à partir d'un certain rang* converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée
      2. Si \(0\le u\le v\), la convergence de \(\sum v_n\) implique celle de \(\sum u_n\).
      3. Si \(u\ge 0\) et \(v\ge 0\) et \(u_n\sim v_n\), alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature. *Si \(u_n\sim v_n\) et si \(v\) est de signe constant à partir d'un certain rang, alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature*.
    3. Comparaison série-intégrale dans le cas monotone
      1. Si \(f\) est monotone, encadrement des sommes partielles de \(\sum f(n)\) à l'aide de la méthode des rectangles
      2. Séries de Riemann
    4. Séries absolument convergentes
      1. Convergence absolue. La convergence absolue implique la convergence.
      2. Si \(u\) est une suite complexe, \(v\) une suite réelle à termes positifs, si \(u=O(v)\), et si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) est absolument convergente.
    5. Représentation décimale des réels.
      1. Définition, existence et unicité du développement décimal propre (démonstration non exigible)
      2. *Caractérisation des entiers, des décimaux, des rationnels et irrationnels*
  8. Groupe symétrique et déterminant
    1. Groupe symétrique
      1. Généralités
        1. Groupe \(S_n\) des permutations de \(\{1,\dots,n\}\)
        2. Cycle \((a_1,\dots,a_p)\), transposition
        3. Décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints
      2. Signature
        1. Toute permutation est un produit de transpositions
        2. Signature
    2. Déterminant
      1. Forme multi-linéaire alternée sur un espace vectoriel
        1. *applications multi-linéaires, calcul de \(f\left(\sum_{i_1} \lambda_{i_1,1}x_{i_1},\dots,\sum_{i_p} \lambda_{i_p,p}x_{i_p}\right)\), formes multi-linéaire alternées*
        2. antisymétrie, effet d'une permutation
        3. annulation sur les familles liées.
      2. Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base \(e\)
        1. Existence et unicité en dimension \(n\) d'une forme \(n\)-linéaire alternée \(\det_e\), telle que \(\det_e(e)=1\). Toute forme \(n\)-linéaire alternée est un multiple de \(\det_e\). Expression du déterminant en fonction des coordonnées. Interprétation en dimension 2 ou 3 comme une aire orientée ou un volume orienté.
        2. Comparaison de \(\det_e\) et \(det_{e'}\). Caractérisation des bases
        3. Orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie
      3. Déterminant d'un endomorphisme, déterminant d'une composée, caractérisation des automorphismes.
      4. Déterminant d'une matrice carrée, déterminant d'un produit, \(\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A)\), caractérisation des matrices inversibles. Déterminant d'une transposée. Description des formes \(\mathcal M_n(\mathbb K)\to\mathbb K\) multilinéaire et alternées par rapport aux colonnes (resp. lignes).
      5. Calcul de déterminants
        1. Effet des opérations élémentaires
        2. Déterminant d'une matrice triangulaire, puis d'une matrice triangulaire par blocs
        3. *Mineur, caractérisation du rang*. Cofacteur. Développement par rapport à une ligne ou à une colonne
        4. Déterminant de Vandermonde
      6. Comatrice \(\mathrm{Com}(A)\). Relation \(A{}^t\mathrm{Com}(A)={}^t\mathrm{Com}(A)=\det(A)I_n\), expression de l'inverse d'une matrice inversible.
  9. Espaces préhilbertiens réels
    1. Produit scalaire
      1. Produit scalaire, espace préhilbertien, espace euclidien. Notation \(\langle x,y\rangle\), \((x|y)\), \(x\cdot y\).
      2. Exemples : produit scalaire canonique sur \(\mathbf R^n\), produit scalaire \((f,g)\mapsto \int fg\) sur \(\mathcal C([a,b],\mathbf R)\). *Produit scalaire \((A,B)\mapsto \mathrm{tr}({}^t AB)\) sur \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf R)\)*.
    2. Norme associée à un produit scalaire
      1. *Définition d'une distance, d'une norme. Distance associée à une norme*.
      2. Norme associée à un produit scalaire, distance associée.
      3. Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité.
      4. Inégalité triangulaire, cas d'égalité.
      5. Formule de polarisation : \(2\langle x,y\rangle=\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\).
    3. Orthogonalité
      1. Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie (et propriétés).
      2. Famille orthogonale, orthonormale (ou orthonormée). Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
      3. Théorème de Pythagore.
      4. Algorithme d'orthonormalisation de Schmidt.
    4. Base orthonormale
      1. Existence de bases orthonormales dans un espace euclidien. Théorème de la base orthonormale incomplète.
      2. Coordonnées dans une base orthonormale. Expression du produit scalaire et de la norme.
      3. Produit mixte \([x_1,\dots,x_n]\) dans un espace euclidien orienté. Interprétation géométrique. Effet d'une application linéaire. [cette partie sera vue plus tard : section H numéro 2]
    5. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie
      1. Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie. En dimension finie : dimension de l'orthogonal *et propriétés de \(F\mapsto F^{\perp}\)*.
      2. Projection orthogonale. Expression du projeté dans une base orthonormale.
      3. *Distance \(d(x,A)\) d'un vecteur \(x\) à une partie \(A\)*. Distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie.
    6. Hyperplans affines d'un espace euclidien
      1. *Description des hyperplans vectoriels et des hyperplans affines d'un espace euclidien*. Vecteur normal à un hyperplan affine d'un espace euclidien. Lignes de niveau de \(M\mapsto \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n}\).
      2. Dans un espace euclidien orienté, orientation d'un hyperplan par un vecteur normal.
      3. Équation d'un hyperplan affine dans un repère orthogonal, cas de \(\mathbf R^2\) et \(\mathbf R^3\). Distance d'un point \(M\) à un hyperplan affine défini par un point \(A\) et un vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) : \(\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}\right|\).
    7. Isométries vectorielles d'un espace euclidien
      1. Isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal) : ce sont les automorphismes qui conservent la norme. Caractérisation (conservation du produit scalaire, image d'une base orthonormale). Groupe orthogonal \(\mathrm{O}(E)\).
      2. Exemples : symétrie orthogonale, réflexion. *Toute symétrie qui est une isométrie est une symétrie orthogonale*.
    8. Matrices orthogonales
      1. Définition : \({}^t AA=I_n\). Caractérisation par la famille des colonnes (ou des lignes). Groupe orthogonal \(\mathrm{O}_n(\mathbf R)\) ou \(\mathrm{O}(n)\). Lien avec les isométries vectorielles. *La matrice de passage d'une base orthonormée vers une base orthonormée est orthogonale*.
      2. Déterminant d'une matrice orthogonale. Matrice orthogonale (resp. isométrie vectorielle) positive, négative. Groupe spécial orthogonal : \(\mathrm{SO}_n(\mathbf R)=\mathrm{SO}(n)\), \(\mathrm{SO}(E)\).
    9. Isométries vectorielles en dimension 2
      1. Description des matrices orthogonales et orthogonales positives de taille 2. Lien avec les complexes de module 1. *\(\mathrm{SO}_2(\mathbf R)\) et \(\mathrm{SO}(E)\) sont commutatifs*.
      2. Rotation vectorielle d'un plan euclidien orienté. Mesure d'un angle orienté de vecteurs.
      3. Classification des isométries d'un plan euclidien orienté.
  10. Probabilités sur un univers fini
    1. Expérience aléatoire, univers et événements
      1. Univers, événements, opérations sur les événements, événement élémentaire, impossible, certain
      2. Système complet d'événements, événements incompatibles
    2. Espaces probabilisés finis
      1. Mesure de probabilité sur un univers fini, espace probabilisé, *événement presque certain, presque impossible*.
      2. Propriétés des probabilités : probabilité de la réunion de deux événements, du complémentaire d'un événement, croissance
      3. Détermination d'une probabilité par les images des singletons
      4. Probabilité uniforme
    3. Probabilités conditionnelles
      1. Probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées, *représentation graphique à l'aide d'un arbre*
      2. Formule des probabilités totales, formules de Bayes, exemples
    4. Événements indépendants
      1. Couples d'événements indépendants, lien avec les probabilités conditionnelles
      2. Famille finie d'événements mutuellement indépendants, lien avec l'indépendance deux à deux
  11. Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini
    1. Variable aléatoire, loi d'une variable aléatoire
      1. Variables aléatoires \(X:\Omega\to E\) sur un univers fini, ensemble des valeurs \(X(\Omega)\). Exemples : indicatrice d'un événement, constante. Événements associés : \((X\in B)\), opérations sur ces événement, système complet associé à \(X\). Opérations sur les variables aléatoires réelles.
      2. Loi \(P_X\) d'une variable aléatoire \(X:\Omega\to E\). La loi \(P_X\) est déterminée par les \(P(X=x)\) pour \(x\in X(\Omega)\).
      3. Loi de l'image d'une variable aléatoire par une fonction.
    2. Lois usuelles
      1. Loi uniforme \(\mathcal U([\!| a,b|\!])\).
      2. Loi de Bernoulli \(\mathcal B(p)\). Lien avec l'indicatrice d'un événement.
      3. Loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\). Nombre de succès lors de \(n\) épreuve de Bernoulli indépendantes.
    3. Couples de variables aléatoires
      1. Loi conjointe, lois marginales. La loi conjointe détermine les lois marginales.
      2. Loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(X=x\). La loi marginale de \(X\) et les lois conditionnelle de \(Y\) détermine la loi conjointe.
      3. Généralisation aux \(n\)-uplets de variables aléatoires.
    4. Variables aléatoires indépendantes.
      1. Définition, caractérisation avec les événements élémentaires. Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors \(f(X)\) et \(g(Y)\) aussi.
      2. Variables aléatoires mutuellement indépendantes.
      3. Somme de \(n\) variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi \(\mathcal B(p)\).
    5. Espérance
      1. Définition : \(E(X)=\sum_{\omega\in\Omega} X(\omega)P(\{\omega\})\). Formule de transfert, *corollaire : cas d'un couple aléatoire*, exemple, variable aléatoire centrée
      2. Linéarité, positivité, croissance. La variable aléatoire \(X-E(X)\) est centrée.
      3. Espérance dans le cas des lois usuelles
      4. Inégalité de Markov : si \(X\ge 0\) et \(a\gt 0\), alors \(a P(X\ge a)\le E(X)\)
      5. Espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes
    6. Variance, écart type, covariance
      1. Moment d'ordre \(k\), variance, écart type, variable aléatoire réduite
      2. Propriétés de la variance. La variable aléatoire \(\frac{X}{\sigma(X)}\) est réduite, \(\frac{X-E(X)}{\sigma(X)}\) est centrée réduite.
      3. Covariance, lien avec l'indépendance, variance d'une somme de variables aléatoires deux à deux indépendantes.
      4. Variance dans le cas des lois usuelles
      5. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev